.RU

Вопросы к экзамену - Рабочая программа по курсу «математика» (наименование дисциплины) для специальности 010701....


^ Вопросы к экзамену

  1. Понятие дифференциального уравнения (ДУ). Физические задачи, приводящие к ДУ.

  2. Геометрическое истолкование уравнения 1-го порядка и его решений. Поле направлений. Изоклины.

  3. Построение ДУ заданного семейства кривых.

  4. Уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными.

  5. Однородные уравнения 1-го порядка.

  6. Уравнения 1-го порядка, приводимые к однородным.

  7. Линейное уравнение 1-го порядка.

  8. Уравнение Бернулли.

  9. Уравнение в полных дифференциалах.

  10. Интегрирующий множитель (свойства и методы нахождения).

  11. Теорема существования и единственности решения уравнения 1-го порядка, разрешенного относительно производной.

  12. Особое решение. Нахождение кривых, подозрительных на особое решение, по ДУ.

  13. Уравнения 1-го порядка n-ой степени.

  14. Уравнения 1-го порядка, не разрешенные относительно производной, не содержащие явно одного из переменных.

  15. Уравнения 1-го порядка, не разрешенные относительно производной. Общий метод введения параметра.

  16. Уравнение Лагранжа.

  17. Уравнение Клеро.

  18. Задача о траекториях.

  19. ДУ высших порядков. Теорема существования.

  20. Типы уравнений n-го порядка, разрешаемые в квадратурах.

21-22. Уравнения, допускающие понижение порядка.

23. Общие свойства линейного ДУ n-го порядка.

24. Однородное линейное уравнение n-го порядка.

25. Формула Остроградского-Лиувилля.

26. Понижение порядка линейного однородного уравнения.

27. Неоднородные линейные уравнения n-го порядка.

28. Метод вариации постоянных (метод Лагранжа).

29. Однородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами.

30. Неоднородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами.

31. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами 2-го порядка и колебательные явления.

32. Системы ДУ. Основные понятия и определения. Механическое истолкование нормальной системы. Система обыкновенных дифференциальных уравнений в симметрической форме.

33. Связь между уравнениями высшего порядка и системами ДУ 1-го порядка.

34. Однородные линейные системы. Фундаментальная система решений.

35. Интегрирование однородной линейной системы с постоянными коэффициентами методом Эйлера.

36. Неоднородные системы линейных уравнений.

37. Связь между однородным линейным уравнением с частными производными первого порядка и соответствующей ему системой обыкновенных дифференциальных уравнений в симметрической форме.

38. Построение общего решения однородного линейного уравнения с частными производными 1-го порядка.

39. Решение задачи Коши для однородного линейного уравнения с частными производными 1-го порядка.

40. Построение общего решения неоднородного линейного уравнения с частными производными 1-го порядка.

41. Решение задачи Коши для неоднородного линейного уравнения с частными производными 1-го порядка.

Примерные практические задания экзаменационных билетов

Проинтегрировать данные уравнения или системы уравнений; если заданы начальные условия, то выделить частные решения:

1. ; .

2. ; .

3. ; .

4. ; .

5. ; .

6. ; .

7. ; .

8. ; .

9. ; .

10. ; .

11. ; .

12. ; .

13. ; .

14. ; .

15. ; .

16. ; .

17. ; .

18. ; .

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО «Кемеровский государственный университет»

Кафедра высшей математики

^ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

по курсу «Математика»

(наименование дисциплины)

разделу «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА»

для специальности 010701.65 «ФИЗИКА»

(шифр и наименование специальности, цикл и компонент ГОС ВПО)

факультет физический

формы обучения очная

курс 3 зачет 5

семестр 5 (семестр)

лекции 34 (часов) экзамен

практические занятия 16 (часов) (семестр)

самостоятельные занятия 50 (часов)

Всего часов 100 (часов)

Составитель:

к.т.н., доцент кафедры автоматизации исследований и технической кибернетики КемГУ, Толстунов В.А.

Кемерово, 2009


^ 1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Особая роль математических курсов в системе подготовки специалистов-физиков определяется тем, что математика – это язык и инструмент для описания и теоретического исследования физических явлений. Кроме того математика является источником идей, позволяющих получить новые результаты в области физики.

Теория вероятностей и математическая статистика составляют обширную область математики и ее приложений. Развитие теории вероятностей связано с общим развитием науки и техники, в котором все большее значение приобретает вероятностная интерпретация самых различных явлений и процессов. Теория вероятностей рассматривает математические модели реальных явлений и изучает присущие им статистические закономерности.

Большое применение методы теории вероятностей и математической статистики находят в физике, технике, химии, экономике и других областях естествознания.

Целью теоретического курса является изложение фундаментальных понятий классической теории вероятностей и статистики, изучение специального математического аппарата, позволяющего читать современную научную литературу, овладение студентами практическими навыками первичной обработки результатов эксперимента.

Курс рассчитан на студентов-физиков, имеющих подготовку по математике в объеме обычной университетской программы. В частности, предполагается, что студенты знакомы с основными понятиями теории множеств, математического анализа, алгебры, дифференциальных уравнений.

Основные разделы программы курса: аксиоматика Колмогорова, случайные события, вероятность; случайные величины, законы распределения; предельные теоремы; цепи Маркова; выборочные характеристики; оценка неизвестных параметров; проверка статистических гипотез; линейная регрессия.

Изучение данного курса предполагает чтение лекций, проведение практических аудиторных занятий, самостоятельную работу студентов. Курс рассчитан на 100 часов занятий в пятом семестре.

Для контроля знаний студентов предусмотрены контрольные работы, тестовые испытания, зачет.

Основными знаниями и умениями, приобретаемыми при изучении курса, являются аксиоматика Колмогорова, классическая схема теории вероятностей, случайная величина и ее характеристики, предельные теоремы теории вероятностей, цепи Маркова, выборочные характеристики, точечные и интервальные оценки, критерий согласия χ2.

^ 2. Тематический план



^ Название и содержание разделов, тем, модулей

Объем часов

Формы контроля

Общий

Аудиторная работа

^ Самостоятельная работа

Лекции

Практические (или семинарские)

Лабораторные

1

Вероятностные методы в науке. Пространство элементарных событий.

3

1







2

Тест

2

Аксиомы А.Н.Колмогорова. Классическое, геометрическое определения вероятности

9

2

2




5

Контрольная работа

3

Условная вероятность. Независимость событий. Формулы полной вероятности, Байеса

8

2

2




4

Контрольная работа

4

Схема испытаний Бернулли. Теоремы Пуассона, локальная предельная, интегральная предельная.

9

3

2




4

Тест

5

Случайные величины. Функция распределения, плотность вероятностей. Система двух случайных величин.

5

3







2

Тест

6

Числовые характеристики случайных величин.

6

2

2




2

Тест

7

Распределения биномиальное, Пуассона. равномерное, экспоненциальное, нормальное, Пирсона, Стьюдента, Фишера.

5

3







2

Тест

8

Неравенство Чебышева. Характеристическая функция. Закон больших чисел. Центральная предельная теорема.

9

3

2




4

Тест

9

Случайные процессы. Цепи Маркова

7

3







4

Тест

10

Выборка, эмпирическая функция распределения, гистограмма, выборочные числовые характеристики.

8

2

2




4

Тест

11

Точечные оценки. Метод максимального правдоподобия. Метод наименьших квадратов. Оценки параметров нормального закона.

7

3

2




2

Тест

12

Интервальные оценки. Доверительные интервалы для параметров нормального закона распределения.

7

2

1




4

Тест

13

Проверка статистических гипотез. Статистический критерий.

6

2







4

Тест

14

Критерий согласия χ2

6

1

1




4

Тест

15

Понятие регрессии. Выборочное уравнение линейной регрессии.

5

2







3

Тест

Итого:

100

34

16




50

зачет

^ 3. Содержание дисциплины

Содержание разделов и тем курса

1. Вероятностные методы в науке. Пространство элементарных событий.

Вероятностные модели различных явлений и процессов. Случайный эксперимент. Пространство элементарных событий. Алгебра случайных событий.

  1. Аксиомы А.Н.Колмогорова. Классическое, геометрическое определения вероятности

Сигма – алгебра событий. Вероятностное пространство. Четыре аксиомы Колмогорова. Задание вероятностей для дискретного и непрерывного пространств элементарных событий.

  1. Условная вероятность. Независимость событий. Формулы полной вероятности, Байеса

Определение и свойства условной вероятности. Независимость попарная и в совокупности. Формулы полной вероятности, Байеса.

  1. Схема испытаний Бернулли. Теоремы Пуассона, локальная предельная, интегральная предельная.

Вероятностная модель схемы независимых испытаний. Биномиальное распределение. Предельные теоремы для схемы независимых испытаний. Полиномиальное распределение вероятностей.

Случайные величины. Функция распределения, плотность вероятностей. Система двух случайных величин.

Дискретные и непрерывные случайные величины. Функция распределения, плотность вероятностей, свойства. Совместное распределение случайных величин. Независимость случайных величин. Распределение функций случайных величин.

  1. Числовые характеристики случайных величин.

Математическое ожидание, дисперсия дискретных и непрерывных случайных величин, свойства. Математическое ожидание функций случайных величин. Коэффициент корреляции случайных величин, свойства.

  1. Распределения биномиальное, Пуассона. равномерное, экспоненциальное, нормальное, Пирсона, Стьюдента, Фишера.

Соотношения для законов распределения биномиального, Пуассона. равномерного, экспоненциального, нормального, Пирсона, Стьюдента, Фишера, числовые характеристики для этих законов.

  1. Неравенство Чебышева. Характеристическая функция. Закон больших чисел. Центральная предельная теорема.

Неравенства Чебышева. Сходимости по вероятности, с вероятностью единица последовательностей случайных величин. Теорема Чебышева, теорема Бернулли, центральная предельная теорема для одинаково распределенных случайных величин.

  1. Случайные процессы. Цепи Маркова

Понятие случайного процесса, его математическое ожидание, дисперсия, функция корреляции. Конечные однородные цепи Маркова, вероятности переходов, финальная вероятность.

  1. Выборка, эмпирическая функция распределения, гистограмма, выборочные числовые характеристики.

Математическая модель выборки, выборочные среднее, дисперсия, их числовые характеристики. Эмпирическая функция распределения, гистограмма, их свойства.

  1. Точечные оценки. Метод максимального правдоподобия. Метод наименьших квадратов. Оценки параметров нормального закона.

Понятие статистической точечной оценки, несмещенность, состоятельность, эффективность. Алгоритмы и свойства оценок методов моментов, максимального правдоподобия, наименьших квадратов. Оценки математического ожидания и дисперсии для нормального закона.

  1. Интервальные оценки. Доверительные интервалы для параметров нормального закона распределения.

Понятие интервальной оценки, доверительная вероятность, доверительный уровень. Доверительные интервалы, доверительные области для математического ожидания и дисперсии в случае нормального закона.

  1. Проверка статистических гипотез. Статистический критерий.

Статистическая задача проверки гипотез, решающая функция, уровень значимости, вероятности ошибок первого и второго рода.

  1. Критерий согласия χ2

Понятие проверки сложных гипотез. Задача проверки согласия. Критерий согласия χ2 ,

особенности его применения.

  1. Понятие регрессии. Выборочное уравнение линейной регрессии.

Уравнение регрессии. Линейная модель измерений. Оценки метода наименьших квадратов для коэффициентов линейной зависимости.

Содержание практических занятий

^ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

  1. Игральная кость брошена дважды. Наблюдаемый результат – числа очков, выпавших при первом и втором бросаниях. Построить пространство элементарных событий, записать случайные события:

А - оба раза выпало число очков, кратное 3,

В – ни разу не выпало 6 очков,

С - оба раза выпало одинаковое число очков.

2. Производится стрельба по плоской прямоугольной мишени: .

Наблюдаемый результат – координата точки попадания. Полагается, что промах исключен. Построить пространство элементарных событий, записать случайные события:

А – абсцисса точки попадания не меньше ординаты и произведение координат точки попадания неотрицательно.

В - сумма абсолютных величин координат точки попадания больше 1.

3. Среди студентов, собравшихся в аудитории, наудачу выбирают одного. Рассматриваются случайные события:

А – выбранный студент юноша

В – студент моложе 20 лет

С – студент живет в общежитии.

Что означают следующие события: , ,

  1. Упростить выражение для случайного события

5. Доказать равенство

^ КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

  1. Монета брошена дважды. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится герб.

  2. В вероятностной урне А белых и В черных шаров. Из урны наудачу вынимаются два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.

  3. Из колоды в 36 карт наудачу вынимают три. Найти вероятность того, что это будут туз, король пиковый, дама красной масти.

  4. В лотерее n билетов, среди которых m выигрышных. Определить вероятность выигрыша, если имеются к билетов.

^ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

  1. В окружность радиуса R вписан квадрат. В круг, ограниченный этой окружностью, наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что эта точка попадет в квадрат.

  2. Наудачу выбраны два числа из отрезка . Какова вероятность того, что их произведение не больше 0,5?

  3. Наудачу выбраны два положительных числа, каждое из которых не превосходит 2. Какова вероятность того, что их произведение не больше 1, а частное – не больше 2?

  4. Найти вероятность того, что корни уравнения вещественны, если коэффициенты p,q выбраны наудачу из отрезка .

^ УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ, НЕЗАВИСИМОСТЬ

  1. 1. Из колоды в 52 карты наудачу вынимается одна. Рассматриваются случайные события: А – появление туза, В – появление карты красной масти, С – появление бубнового туза, Д – появление «10». Зависимы или нет следующие пары событий: А,В; А,С; В,С; В,Д; С,Д.

  2. В вероятностной урне А белых и В черных шаров. Из урны наудачу один за другим вынимаются два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.

  3. 32 буквы русского алфавита написаны на отдельных карточках, которые перемешаны. Наудачу вынимают 4 карточки и укладывают их в порядке появления. Найти вероятность, того, что при этом а) получится слово «Орел» в) из вытащенных карточек можно составить слово «Орел».

  4. Сколько нужно взять чисел из таблицы случайных чисел, чтобы с вероятностью не менее 0,9 быть уверенным, что среди них есть хотя бы 1 четное число.

^ ФОРМУЛЫ ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ, БАЙЕСА

  1. Имеются 3 вероятностные урны. В первой - a белых, b – черных шаров, во второй - c белых, d – черных, в третьей – только белые шары. Из наугад выбранной урны вынимают один шар. Какова вероятность того, что он белый?

  2. Два студента пришли на экзамен. Случилось так, что один из них знает не все экзаменационные билеты. Он может пойти на экзамен как первым, так и вторым по очереди. В каком случае для него вероятность вытащить неизвестный билет будет наименьшей?

  3. Имеются 3 вероятностные урны. В первой - a белых, b – черных шаров, во второй - c белых, d – черных, в третьей – только k белых шаров. Из наугад выбранной урны вынимают один шар. Он оказался белым. Какова вероятность того, что была выбрана первая урна?

  4. Прибор состоит из двух узлов, которые работаю независимо друг от друга и выходит из строя, если оказался неисправным хотя бы один узел. Вероятности безотказной работы в течение заданного времени первого узла – p1, второго – p2. Во время испытания прибор вышел из строя. Какова вероятность того, что первый узел отказал, а второй – исправен?

^ СХЕМА ИСПЫТАНИЙ БЕРНУЛЛИ

  1. Что вероятнее выиграть у равносильного противника: а) 3 партии из 4, или 5 партий из 8? в) не менее 3 партии из 8, или не менее 5 партий из 8?

  2. Двое бросают монету по n раз каждый. Найти вероятность того, что у них выпадет одинаковое число гербов.

  3. Большая партия изделий содержит 1% бракованных. Сколько необходимо взять наудачу изделий, чтобы с вероятностью не менее 0,95 среди них было хотя бы одно бракованное?

  4. На факультете обучается 500 студентов. Какова вероятность того, что 1 сентября является днем рождения для k (k=1,2,…) студентов данного факультета?

^ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА, ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

    1. Монета брошена 2 раза. Для случайной величины – число появлений герба построить функцию распределения.

    2. Число проведенных опытов случайно и распределено по закону Пуассона с параметром n. Каждый опыт может быть успешным с вероятностью p и неуспешным - с вероятностью q=1-p. Построить функцию распределения числа успешных опытов.

    3. Случайная величина распределена с постоянной плотностью внутри единичного квадрата с центром в точке (0,5; 0,5). Записать плотность распределения, функцию распределения случайной величины .

    4. По мишени производится один выстрел. Вероятность попадания в мишень – p. Рассматриваются случайные величины: - число попаданий, - число промахов. Найти функцию распределения случайной величины .

^ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

  1. Независимые случайные величины , имеют плотности распределения ,



Найти плотность распределения случайной величины .

  1. Независимые дискретные случайные величины , заданы распределениями




0

1

3

1/2

3/8

1/8



0

1

3

1/2

3/8

1/8



Найти закон распределения случайной величины .

  1. Найти плотность вероятностей объема куба, ребро которого ξ – случайная величина, равномерно распределенная в интервале [0.a].

  2. Случайные величины , независимы. имеет плотность распределения р(х), дискретна, задана рядом распределения




Х1

Х2



Хn

Р1

Р2



Рn

Найти закон распределения случайной величины .

^ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

  1. Случайная величина Случайная величина распределена по нормальному закону с плотностью Случайная величина распределена равномерно в интервале [0,2]. , независимы. Определить , , .

  2. Из вероятностной урны, содержащей 2 белых и 3 черных шара, вынимают 2 шара. Найти математическое ожидание и дисперсию числа появившихся белых шаров.

  3. На отрезке [0,L] наудачу выбраны две точки. Найти математическое ожидание и дисперсию расстояния между ними.

  4. Случайная величина распределена по закону








0

1

-1

0,1

0,2

0

0,2

0,3

1

0

0,2


Определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины

^ НЕРАВЕНСТВО ЧЕБЫШЕВА

  1. Используя неравенство Чебышева, определить вероятность того, что отклонение случайной величины от своего математического ожидания будет не менее трех средних квадратических отклонений.

  2. Вероятности правильного приема сигналов «0» и «1» одинаковы. С какой вероятностью можно утверждать, что из 1000 принятых сигналов такого вида число «1» окажется в пределах от 480 до 520?

  3. Вероятность некоторого события в серии из n независимых испытаний равна 1/3. Найти наименьшее число испытаний так, чтобы с вероятностью не менее 0,99, частота события отклонялась по абсолютной величине от его вероятности не более, чем на 0,01.

  4. За значение некоторой величины принимают среднее арифметическое большого числа ее измерений. Полагая что среднее квадратическое отклонение результатов каждого измерения не превосходит 1, оценить вероятность того, что при 1000 измерениях этой величины, отклонение найденного значения от истинного не превосходит 0,1.

^ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

  1. Определить характеристическую функцию, математическое ожидание и дисперсию случайной величины, распределенной по экспоненциальному закону

  2. Определить характеристическую функцию, математическое ожидание и дисперсию случайной величины, распределенной по закону Лапласа с плотностью

  3. Определить плотность распределения случайной величины, характеристическая функция которой, равна

  4. Найти законы распределения, которым соответствуют следующие характеристические функции а) f(t) = cos(t), b) f(t) = cos2(t).

^ ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА

  1. Дана случайная величина , где ξ1 ξ2 …ξn- независимые случайные величины, распределенные одинаково с дисперсией 5. Каким должно быть число n, чтобы величина ξ с вероятностью не менее 0,9973 имела отклонение от своего математического ожидания не более 0,01?

  2. Игральная кость брошена 1000 раз. Найти пределы, в которых с вероятностью 0,95 будет лежать число выпавших очков.

  3. Вычисление интеграла произведено методом Монте – Карло на основе 1000 независимых испытаний. Оценить вероятность того, что абсолютная погрешность в определении этого интеграла не превзойдет 0,01

  4. На станцию скорой помощи вызовы в течении суток поступают согласно закона Пуассона с параметром λ= 73 и в разные дни их количество не зависит друг от друга. Определить с вероятностью 0,95 границы для числа вызовов в течение года.

^ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

  1. Случайный процесс ξ(t) может принимать только два значения +1, -1, причем, число перемен знака за промежуток времени (t, t+τ) является случайной величиной, распределенной по закону Пуассона с параметром λ τ . Считая, что математическое ожидание случайного процесса равно нулю, определить его функцию корреляции и дисперсию.

  2. Показать, что случайный процесс ξ(t) = αsin(ωt+φ), где α = const>0, ω = const>0, φ – случайная величина, равномерно распределенная на интервале [0, 2π], является стационарным в широком смысле.

  3. Вероятности переходов за один шаг цепи Маркова заданы матрицей



Определить: а) число состояний цепи,

б) число существенных и несущественных состояний,

в) минимальное число шагов, за которые можно из состояния 2 перейти в состояние 3,

г) период состояния 3.

  1. Вероятности переходов за один шаг цепи Маркова заданы матрицей



Построить граф переходов цепи, найти финальные вероятности.

^ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

1. Из продукции токарного станка – автомата наудачу отобраны 200 валиков. Результаты измерений отклонений диаметров валиков от номинала приведены в следующей таблице

Отклонения

-20

-15

-15

-10

-10

-5

-5

0

0

5

5

10

10

15

15

20

20

25

25

30

частота

7

11

15

24

49

41

26

17

7

3

По данной выборке

  1. Выборка x ={ x1,x2,…,xn }получена из распределения Пуассона с параметром λ. Методом максимального правдоподобия определить оценку параметра λ. Будет ли данная оценка несмещенной, состоятельной?

  2. Из распределения с плотностью



извлечена выборка x ={ x1,x2,…,xn }. Методом максимального правдоподобия определить оценку параметра θ.

  1. Результаты изучения растворимости соли NaNО3 в 100 частях воды в зависимости от температуры раствора приведены в следующей таблице




Температура

0

4

10

15

21

29

36

51

68

Количество соли

66,7

71,0

76,3

80,6

85,7

92,9

99,4

113,6

125,1


Полагая, что растворимость NaNО3 линейно зависит от температуры, определить параметры этой линейной зависимости.

  1. Конденсатор заряжен до напряжения U0 , после чего он разряжается через некоторое сопротивление. Измеренное напряжение конденсатора через различные промежутки времени представлены в следующей таблице






Х(сек)

U(в)



Х(сек)

U(в)



Х(сек)

U(в)

0

0

100

4

4

30

8

8

10

1

1

75

5

5

20

9

9

5

2

2

55

6

6

15

10

10

5

3

3

40

7

7

10











Известно, что зависимость U от X имеет вид . Используя метод наименьших квадратов, подобрать значения коэффициентов U0 , k.

  1. Постоянная величина измерена 25 раз с помощью прибора, систематическая ошибка которого равна нулю, а случайная ошибка распределена нормально со средним квадратическим отклонением 10мм. Определить доверительный интервал для измеряемой величины по доверительной вероятности 0,99, если выборочное среднее измерений равно 100мм.

  2. Результаты измерений роста группы из 1000 человек приведены в следующей таблице




Рост

Частота

Рост

Частота

143-146

1

167-170

170

146-149

2

170-173

120

149-152

8

173-176

64

152-155

26

176-179

28

155-158

65

179-182

10

158-161

120

182-185

3

161-164

180

185-188

2

164-167

201








Определить:

8. Радиоактивное вещество наблюдалось в течение 2608 равных интервалов времени. Для каждого из этих интервалов регистрировалось число частиц, попавших в счетчик. В следующей таблице приведены числа интервалов времени, в течение которых в счетчик попало ровно k частиц.

k

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

mk

57

203

383

525

532

408

273

139

45

27

16


Используя критерий χ2, проверить гипотезу о согласии экспериментальных данных с законом распределения Пуассона. Уровень значимости критерия выбрать равным 0,05.

9. Результаты испытаний 200 приборов на длительность их работы приведены в следующей таблице


Длительность

работы

0-5

5-10

10-15

15-20

20-25

25-30

Число приборов

133

45

15

4

2

1


На основании эти данных сделать предположение о законе распределения длительности работы приборов. Используя критерий χ2, проверить гипотезу о согласии экспериментальных данных с предполагаемым законом распределения. Уровень значимости критерия выбрать равным 0,05.


zhizn-radi-smerti.html
zhizn-studencheskaya-1-kurs-chudo-v-reshete.html
zhizn-vo-vselennoj.html
zhiznennaya-perspektiva-i-professionalnoe-samoopredelenie-molodezhi.html
zhiznennij-cikl-cheloveka.html
zhiznennij-cikl-produkta-chast-2.html
  • gramota.bystrickaya.ru/vstrecha-s-pristavom-chasto-zadavaemie-voprosi-ne-nado-chitat-mnogo-knig.html
  • klass.bystrickaya.ru/4-ne-dostatochno-podtverzhdennie-ili-potencialno-izmenyaemie-fr-tablica-9-posobie-dlya-vrachej-chelyabinsk-2008-god.html
  • klass.bystrickaya.ru/6-tekushij-remont-i-soderzhanie-vnutridomovih-setej-metodicheskie-rekomendacii-po-raschetu-razmera-plati-za-zhilishnie-uslugi.html
  • literature.bystrickaya.ru/bez-kommentariev-vremya-novostej-avtor-ne-ukazan-07072008-119-str-7.html
  • paragraph.bystrickaya.ru/matematicheskaya-logika-ani-s-novosibirskoj-shkoloj-logiki-bolshoj-vklad-v-podgotovke-specialistov-v-etom-napravlenii.html
  • upbringing.bystrickaya.ru/lekciya-upravlenie-finansovimi-rezultatami-kompanii-vzaklyuchitelnoj-lekcii-obrazovatelnogo-kursa-finansovogo-upravlyayushego.html
  • pisat.bystrickaya.ru/titulnij-list-programmi-obucheniya-po-discipline-syllabus.html
  • ekzamen.bystrickaya.ru/scenarij-prazdnovaniya-novogo-goda.html
  • kontrolnaya.bystrickaya.ru/proizvodstvennoe-obedinenie-alina-stranica-16.html
  • university.bystrickaya.ru/glava-chetvertaya-listaya-stranici-istorii-zamechatelnie-zhenshini-nizhegorodki.html
  • uchit.bystrickaya.ru/tvorcheskij-otchet-poznavatelnij-interes-kak-odin-iz-faktorov-povisheniya-uspevaemosti-na-urokah-geografii-uchitel-geografii.html
  • urok.bystrickaya.ru/prilozhenie--sociologiya-emilya-dyurkgejma-v-m-bakusev-zam-predsedatelya.html
  • portfolio.bystrickaya.ru/opisanie-magmaticheskih-gornih-porod-metodicheskie-ukazaniya-k-vipolneniyu-laboratornih-i-kursovih-rabot-irkutsk-2007.html
  • books.bystrickaya.ru/bibliograficheskij-ukazatel-trudov-prepodavatelej-i-sotrudnikov-sankt-peterburgskoj-akademii-upravleniya-i-ekonomiki-1990-2010-gg-stranica-14.html
  • tests.bystrickaya.ru/metodicheskie-rekomendacii-po-vipolneniyu-ves-material-neobhodimij-dlya-vipolneniya-praktikuma-soderzhitsya-v-lekcionnom-kurse-i-metodicheskih-posobiyah-12-poleznaya-dopolnitelnaya-informaciya-mozhet-bit.html
  • uchebnik.bystrickaya.ru/urok-43-soglasnie-zvuki-pp-bukva-pp-process-obucheniya-gramote-po-uchebniku-v-g-goreckogo-i-dr-russkaya.html
  • knigi.bystrickaya.ru/rukovodyashie-kadri-rossijskoj-ekonomiki-v-usloviyah-reform-1985-1999-gg.html
  • spur.bystrickaya.ru/kontrolnaya-po-ekonomike-2.html
  • kolledzh.bystrickaya.ru/a-m-sitnik-mezhdunarodnoe-chastnoe-pravo-visshaya-matematika-yurisprudencii-stranica-16.html
  • university.bystrickaya.ru/glava-tretya-analiz-visshih-psihicheskih-funkcij-vigotskij-l-s-v-92-psihologiya-razvitiya-cheloveka.html
  • otsenki.bystrickaya.ru/sankt-mihelskaya-guberniya.html
  • lesson.bystrickaya.ru/metodicheskie-rekomendacii-dlya-studentov-po-izucheniyu-inostrannogo-yazika-anglijskij-chast-5.html
  • universitet.bystrickaya.ru/strannaya-kniga-sovmeshaet-ochen-mnogoe-pronicatelnost-ostrij-yumor-iskrennost-flyor-romantichnosti-grust-ot-proishodyashego-v-sovremennom-mire-nostalgiyu-p.html
  • spur.bystrickaya.ru/kontroverza-franc-controverse-raznoglasie-rashozhdenie-spornij-sluchaj-vopros-koncepciya.html
  • lesson.bystrickaya.ru/unichtozhenie-ozera-bajkal.html
  • shpora.bystrickaya.ru/zakon-volgogradskoj-oblasti-ot-13-iyulya-2009-g-n-1920-od-o-dopolnitelnih-merah-po-protivodejstviyu-korrupcii-v-volgogradskoj-oblasti.html
  • write.bystrickaya.ru/ezhekvartalnij-otchet-otkritogo-akcionernogo-obshestva-shestaya-generiruyushaya-kompaniya-optovogo-rinka-elektroenergii-kod-emitenta-stranica-38.html
  • testyi.bystrickaya.ru/53-organizaciya-rekreacionnoj-deyatelnosti-i-turizma-informacionnij-byulleten-organov-mestnogo-samoupravleniya.html
  • paragraf.bystrickaya.ru/zastavka.html
  • paragraph.bystrickaya.ru/kontrolnaya-rabota-po-discipline-istoriya-ekonomicheskih-uchenij-na-temu-razvitie-ekonomicheskoj-misli-antichnogo-i-srednevekovogo-obshestva.html
  • uchenik.bystrickaya.ru/izmerenie-fokusnih-vershinnih-fokusnih-i-rabochih-rasstoyanij-opticheskih-sistem.html
  • thescience.bystrickaya.ru/himera-zolotogo-rublya-kniga-napisana-prostim-yazikom-ponyatnim-rukovoditelyu-skol-ugodno-visokogo-ranga-i-prednaznachena.html
  • urok.bystrickaya.ru/prikaz-116-1-ot-21-avgusta-2010g-rabochaya-programma-po-himii-dlya-10-klassa-mou-sosh-s-bereznyak-kukmorskogo-municipalnogo-rajona-rt.html
  • studies.bystrickaya.ru/b-ocenka-suda-reshenie-strasburg.html
  • znanie.bystrickaya.ru/active-voice-dejstvitelnij-zalog.html
  • © bystrickaya.ru
    Мобильный рефератник - для мобильных людей.