.RU

Задачи IV соросовской олимпиады по математике для 6 11 классов Руководитель работы - страница 2



8 класс


1. Какое максимальное количество 12%-го раствора кислоты можно получить, имея по 1 литру 6 %-го, 10 %-го, 15 %-го растворов?

Решение:

Пусть раствор состоит из x литров первого раствора, y литров второго раствора и z литров третьего. Его концентрация должна быть 12%, то есть . Откуда x=. Тогда x + y + z==. А эта сумма наибольшая если y и z наибольшие. В результате получаем: y=1,z=1, x=.

Ответ: 2


2. Какое число больше: 1997199719972 или 199719971996199719971998?

Решение:

Пусть число 199719971997 = n, тогда 199719971996 = n-1, а 199719971998 = n+1. Но 1997199719972 = n2, а 199719971996199719971998 = (n-1)(n+1), а

n2>(n-1)(n+1) =n2-1.

Значит число 1997199719972 больше числа 199719971996199719971998.

Ответ: 1997199719972 больше.


3. Существует ли выпуклый 1998-угольник, все углы которого выражаются целым числом градусов?

Решение:

Пусть такой 1998-угольник существует и  - его наибольший угол. Тогда сумма всех углов равная 1801996, будет не больше 1998.

18019961998,

180>1790, что невозможно.

Следовательно, 1998-угольник, все углы которого выражаются целым числом градусов, не существует.

Ответ: Не существует.


4. Существует ли десятизначное число, делящееся на 11, в записи которого использованы все цифры от 0 до 9?

Решение:

Вариант № 1

Проверим не делится ли на 11 какое-либо число, которое получается из числа a=9876543210 перестановкой цифры 1 с цифрой более высокого разряда.

a)Число 9876543210 при делении на 11 дает остаток 6. Перестановка цифры 1 и 2 дает число а+10-100, цифр 1 и 3 - число а+20-2000, цифр 1 и 4 - число а+30-30000 и так далее. Но числа 10-100, 20 - 2000, 30-30000,... дают при делении на 11 те же остатки, что и числа 10 - 1, 20 - 2·10, 30 - 3·1,..., то есть остатки 9,0,5,... А так как 6+5=11, то число а+30-30000, то есть число 9876513240 делится на 11.

Вариант № 2

Для того, чтобы число Х делилось на 11 необходимо и достаточно, чтобы разность сумм цифр числа, стоящих на нечетных местах, и суммы цифр числа, стоящих на четных местах, делилась на 11, то есть надо найти такие пять цифр, чтобы разность их суммы S и суммы 45-S остальных цифр делилась на 11. Достаточно, например, чтобы S-(45-S)=2S-45 было равно -11, то есть S=17. Но 8+2+4+3+0=17. Итак поэтому число 8927463501 делится на 11.

Ответ: Существует.


5. По кругу написано 20 чисел, каждое из которых равно сумме двух своих соседей. Доказать, что сумма всех чисел равна 0.

Решение:

Пусть дано 20 чисел - x1, x2, ... x20. Из условия следует, что

x1=x20 - x19

x
Складывая эти равенства, получим
2=x1 - x20

x3=x2 - x1

x4=x3 - x2

.....

x20=x19 - x18

x1+... + x20= x20 - x19 + x1 - x20 + x2 - x1 + x3 - x2 +....+ x19 - x18 = 0




6. Существует ли выпуклый многоугольник. Который не имеет ни оси симметрии, ни центра симметрии, но который переходит в себя при повороте вокруг некоторой точки на некоторый угол, меньше 180°?

Решение:

Возьмем на окружности три точки A,B,C, делящие окружность на три равные части и возле каждой вершины по одну сторону от точек A,B,C на малом расстоянии  отметим точки A1,B1,C1 соответственно. А по другую сторону от точек A,B,C на малом расстоянии 1(1) отметим точки A2,B2,C2 соответственно. В результате фигура не будет иметь ни центра, ни оси симметрии. Действительно, пусть у нее есть ось симметрии, тогда так как точек всего 9, то ось симметрия проходит через одну из них. Пусть, например, она проходит через точку А. Но точки A1 и А2 не симметричны относительно этой прямой, поскольку 12. Ось симметрии не может проходить и через точку A1, поскольку 1
Ответ: Существует


7. В выпуклом семиугольнике проведите как можно больше диагоналей так, чтобы никакие три из них не были сторонами одного треугольника, вершины которого находятся в вершинах исходного семиугольника.

Смотри решение 7.6.


8. Приведите пример натурального числа, которое делится на 30 и имеет ровно 105 различных натуральных делителей, включая 1 и само число.

Решение:

Будем искать такое число в виде 2k3l5m. Сомножитель 2k имеет k+1 делителей. Точно также у сомножителя 3l будет l+1 делителя, у 5m - m+1 делителей. Поэтому произведение 2k3l5m имеет (k+1)(l+1)(m+1) делителей. Следовательно, взяв k=6, l=4, n=2, получим требуемое число 263452=129600.

Ответ: 129600


9. В письменности антиподов числа тоже записываются знаками 0,..., 9, но при этом каждая из цифр имеет у них и у нас разные значения. Оказалось, что у антиподов тоже верны равенства: 58+7+1=48, 226=24, 56=30. Как продолжит равенство 23 = ... грамотный антипод? Что означает у антиподов цифра 9?

Смотри решение 7.7.


10. Существует ли выпуклый четырехугольник, который можно разрезать по прямой на две части одинаковой величины и формы, но ни диагональ, ни прямая, проходящая через середины противоположных сторон, не делит его на две равные части?

Смотри решение 7.10.


9 класс


1. Решите уравнение:

2

Решение:



       

Ответ: Нет решений.


2. Через вершины А и В единичного квадрата ABCD проходит окружность, пересекающая прямые AD и АС в точках К и М, отличных от А. Найдите длину проекции КМ на АС.

Решение:



^ 1. KLMA; KLMA=L

2. KAL=450; ABK=AMK(опираются на одну дугу);. KLA=KAB

3. Из (2) по признаку подобия:KLM подобен KAB.

4. Пусть AK = a, тогда из KLA находим KL=a. Составляем пропорцию для подобных треугольников KLM и KAB:

,

ML=

Ответ:


3. В цехе работало несколько станков. После реконструкции количество станков сократилось, причем число процентов, на которое уменьшилось число станков, оказалось равным числу оставшихся станков. Какое наименьшее число станков могло быть в цехе до реконструкции?

Решение:

Пусть k - число станков до реконструкции, p - число процентов (целое). По условию p = k(1-) или p = 100 - . А наименьшее значение числа k, при котором 100+k является делителем 10000, является число 25.

Ответ:25


4. Найдите наименьшее значение выражения



Решение:

Это выражение определено когда x0,y0 и x, y - одного знака. Оно не меняется при замене x и y на -x и -y. Поэтому можно считать, что x>0 и y>0.

Так как , то 8xy-. Знак равенства возможен только если , т.е. если 2x=y.

Пусть =t, тогда 8xy-=8t2-t ==

=.

Равенство достигается при . Таким образом: 

Ответ: .


5. Имеется квадратная таблица со стороной n. Можно ли в клетки этой таблицы вписать числа 0, 1 или 2 так, чтобы все суммы чисел по строкам и столбцам были бы различны и принимали значения от 1 до 2n, если: a) n = 7, б) n= 8?

Решение:


1

0

0

0

0

0

0

0

1

2

1

0

0

0

0

0

0

3

2

2

1

0

0

0

0

0

5

2

2

2

1

0

0

0

0

7

2

2

2

2

2

0

0

0

10

2

2

2

2

2

2

0

0

12

2

2

2

2

2

2

2

0

14

2

2

2

2

2

2

2

2

16

15

13

11

9

8

6

4

2






























а) Рассмотрим таблицу 3x3. Пусть сумма по столбцам равна s1,s2,s3, а сумма по строкам равна t1,t2,t3. Тогда s1+s2+s3= t1+t2+t3

s1+s2+s3+t1+t2+t3=1+2+...+2n=n(1+2n)

Но n(1+2n) не делится на 2 нацело. Значит построить такую таблицу для нечетного числа строк и столбцов нельзя.

б) Смотри рисунок.


Ответ: a)Нет б) Да


6. Около квадрата со стороной 1997 описан ромб. Найдите его диагонали, если известно, что они равны различным целым числам.

Решение:



1. AOB подобен KMB(AOB=KMB=90; MKB=OAB)

2. Из подобия треугольников имеем

Пусть AO=;BO=. Тогда :=:(-).

Отсюда получаем уравнение: yx=1997(x+y).


Пусть y=1997k(правая часть делится на 1997, а значит и левая должна делиться, то есть либо x, либо y делится на 1997), тогда kx=x+1997k.

x(k-1)=1997k

Пусть x=kt(k и k-1 взаимно просты, а значит x делится на k): t(k-1)=1997.



Ответ: x=1998, y=19981997.


7. Для любых двух точек А(x1; у1) и В(x2; у2) расстояние (A, В) между ними определено равенством (A, B) = |x1 - x2| + |у1 - у2|. Докажите, что для введенного таким образом расстояния выполняется неравенство треугольника: (A,C)+(С,В) (А,B). Пусть А и B - две точки плоскости (можно взять А(1; 3), В(3; 7)). Найдите геометрическое место точек С, для которых: а) (А,С)+ (С,В)= (А,В);(1) б) (А,C) = (С,В)(2).



Решение:

Пусть есть три точки А(x1; у1), В(x2; у2) и C(x3;y3), не лежащие на одной прямой (если лежат, то доказательство следует из условия задачи).

Тогда (А,B)= |x1 - x2| + |у1 - у2|=|x1 - x3 + x3- x2| + |у1 - y3 + y3 - у2|  |x1 - x3| + |y1 - y3|+

+|x3 - x2| + |у3 - у2|=(А,C)+ (C,B)

а) Пусть А(1; 3), В(3; 7), С(x; y). Тогда равенство (1) примет вид:

|1 - x| + |3 - у| + |x - 3| + |у - 7| = 6



Тогда ответ изображен на рис 1.

б) Пусть А(1; 3), В(3; 7), С(x; y). Тогда равенство (2) примет вид:

|1 - x| + |3 - у| = |x - 3| + |у - 7|





Тогда ответ изображен на рис 2.


8. В левом нижнем углу шахматной доски размерами 6 x 6 находится король. За один ход он может передвинуться либо на одну клетку вправо, либо на одну клетку вверх, либо на одну клетку по диагонали - вправо и вверх. Сколькими различными путями король может пройти в правый верхний угол доски?

Решение:



Очевидно, что в каждую клетку, находящуюся на сторонах АВ и АD, ведет только один путь; в клетку 2b ведут 3 пути. В клетку 2с можно попасть, во-первых, из пункта 2b, значит, тоже 3 путями, во-вторых, из пункта 1с, и, в третьих из клетки 1b, то есть еще двумя путями. Следовательно, всего к клетке 2с ведут 3+1+1= 5 маршрутов. Аналогично, найдём количество маршрутов, ведущих в каждую оставшуюся клетку. И в результате найдем, что в клетку 6f ведут 1683 маршрута.

Ответ: 1683 различных путей.


9. В треугольнике АВС угол А равен а, а высота, проведенная к стороне ВС, равна h. Вписанная в треугольник окружность касается сторон треугольника в точках K, M, и P, где Р лежит на стороне ВС. Найдите расстояние от Р до КМ.

Решение:

П

усть О - центр вписанной окружности, AOBC=Q, HAQ=, PL  MK,PN  AM, радиус окружности равен r. Тогда QOP=, AQ  MK, AQMK=T, OMT=. Из OPN находим, что ON = rcos, а из OMT находим, что OT = rsin(/2). Тогда PL = rcos + rsin(/2) (1)

Из HAQ находим, что AQ=; Из MAO находим, что AO=; Из POQ находим, что OQ=. Так как AQ=AO+OQ, то = +.(2)

Из (1) и (2) следует, что LP = hsin.

Ответ: hsin.


10. На плоскости имеется изображение окружности с отмеченным центром. Пусть на этой плоскости изображен произвольный угол. С помощью одной линейки построите биссектрису этого угла.



Решение:

В решении задачи используется следующий факт: Если О - произвольная точка медианы ВМ треугольника АВС и прямые СО и АО пересекают стороны АВ и СВ соответственно в точках С1 и А1, то прямая С1А1 параллельна основанию АС(см. рисунок). Этот факт позволяет с помощью одной линейки через точку, лежащую вне прямой, провести параллельную ей прямую, если на данной прямой отмечен отрезок и его середина.



Построение:


Пусть дан угол АВС.

1. Через вершину угла АВС и центр окружности, проводим прямую 1

2. Через произвольную точку окружности D проводим прямую 2, параллельно прямой 1

3. Проводим прямую 3, через точку О и точку D

4. Проводим прямую 4, параллельно прямой 1

5. Проводим прямую 5, параллельно стороне угла АВ

6. Проводим прямую 6, параллельно стороне угла ВС

7. Проводим прямую 7, параллельно прямой 6

8. Проводим прямую 8, параллельно прямой 5

9. Проводим прямую 9

10. Проводим прямую 10, параллельно прямой 9

11. Прямая 10 искомая


vosem-mifov-pro-java.html
voshozhdenie-v-gorah-i-nauka-stranica-3.html
voskresenie-zhizni-bessmertie-dushi.html
voskreshenie-podobno-politike-svodit-v-krovati-samih-raznih-lyudej-zametil-sem-klemens-i-ya-ne-mogu-skazat-chto-son-prohodit-uzh-ochen-spokojno-v-angli.html
vospalitelnie-zabolevaniya-genitalij-u-devochek.html
vospitanie-cennostnogo-otnosheniya-k-prirode-okruzhayushej-srede-ekologicheskoe-vospitanie.html
  • kanikulyi.bystrickaya.ru/vserossijskaya-olimpiada-shkolnikov-po-obshestvoznaniyu.html
  • education.bystrickaya.ru/-9-igra-nim-igra-v-tri-kuchki-spichek-fomin-s-v-f76-sistemi-schisleniya-5-e-izd.html
  • control.bystrickaya.ru/chrezvichajnie-situacii-vizvannie-fizicheskimi-zagryazneniyami-sredi-kurs-lekcij-minsk-2005-udk-614-876076-6-bbk-22-383.html
  • report.bystrickaya.ru/iisus-skazal-emu-yaesm-put-i-istina-i-zhizn-nikto-ne-prihodit-k-otcu-kak-tolko-cherez-menya.html
  • notebook.bystrickaya.ru/ipv6-v-rossii-vdannom-kurse-izlozheni-teoreticheskie-osnovi-kriptografii-i-voprosi-setevoj-bezopasnosti-prednaznacheno.html
  • predmet.bystrickaya.ru/sborka-i-svarka-truboprovodov-magistralnie-nefteprovodi-pravila-proizvodstva-i-priemki-stroitelno-montazhnih-rabot.html
  • holiday.bystrickaya.ru/novie-postupleniya-v-biblioteku-baltijskogo-russkogo-instituta-pravovedenie.html
  • holiday.bystrickaya.ru/metodicheskoe-posobie-po-fizicheskoj-kulture-dlya-uchashihsya-9-h-klassov-povalyaeva-lyudmila-viktorovna.html
  • ekzamen.bystrickaya.ru/severskij-zavod-pod-uralom-v-sobstvennom-smisle-podrazumevaetsya-uralskij-hrebet-on-zanimaet-ogromnoe-protyazhenie.html
  • credit.bystrickaya.ru/pochti-do-samogo-konca-dolgoj-zhizni-andrea-mantenya-podpisivalsya-na-svoih-rabotah-paduancem-on-ne-bil-rodom-iz-padui-i-bolshaya-chast-ego-deyatelnosti-proteka.html
  • books.bystrickaya.ru/chast-tretya-strah-kotorij-sidit-v-kazhdom-iz-nas-konkurs-imeni-karnegi-ili-pominki-po-govoryashim-golovam.html
  • ekzamen.bystrickaya.ru/sichev-vladimir-nikolaevich-vospominaniya-o-velikoj-otechestvennoj-vojne-posvyashaetsya-moim-tovarisham-oficeram-po-46-mu-gvardejskomu-strelkovomu-polku-48-oj-gvardejskoj-krivorozhskoj-strelkovoj-divizii-stranica-3.html
  • doklad.bystrickaya.ru/v-semejstve-videlyayut-i-obekti-dendrologii-ponyatie-o-zhiznennoj-forme.html
  • lektsiya.bystrickaya.ru/programma-dlya-studentov-obuchayushihsya-po-specialnosti-buhgalterskij-uchet-analiz-i-audit-080109-obem-zanyatij-vsego-60-chas.html
  • crib.bystrickaya.ru/istoriya-sudebnih-uchrezhdenij-v-rossii-stranica-9.html
  • holiday.bystrickaya.ru/nizhnyaya-palata-prinyala-popravki-v-ryad-statej-ugolovno-processualnogo-kodeks-stranica-4.html
  • kontrolnaya.bystrickaya.ru/programma-tura-1-den-lvov-vstrecha-kazhdogo-turista-predstavitelem-firmi-09-00.html
  • assessments.bystrickaya.ru/bolasha-dombirashi-staz-dayarlau-aspapta-orindau.html
  • obrazovanie.bystrickaya.ru/predatelstvo-sni-i-grezi-evgeniya-cvetkova.html
  • uchit.bystrickaya.ru/tezisi-dokladov-moskovskoj-nauchno-tehnicheskoj-konferencii-posvyashennoj-80-letiyu-so-dnya-izobreteniya-radio-a-s-popovim-sekciya-avtomatiki-i-vichislitelnoj-tehniki-m-sov-radio-1975-s-33-34-stranica-2.html
  • turn.bystrickaya.ru/plan-vnutrishkolnogo-kontrolya-na-2010-2011-uch-god-i.html
  • zadachi.bystrickaya.ru/organizacii-obedinennih-nacij.html
  • ekzamen.bystrickaya.ru/ris-214-stranica-foruma-uchebno-metodicheskoe-posobie-novocherkassk-2008-udk-330-407.html
  • composition.bystrickaya.ru/plan-raboti-departamenta-obrazovaniya-merii-goroda-yaroslavlya-na-noyabr-2009-goda-podgotovka-proektov-postanovlenij-mera-goroda-stranica-4.html
  • vospitanie.bystrickaya.ru/zakon-o-radiacionnoj-bezopasnosti-v-sverdlovskoj-oblasti.html
  • spur.bystrickaya.ru/koncepciya-rasschitana-na-period-do-2010-goda-celi-zadachi-i-prioriteti-koncepcii.html
  • literatura.bystrickaya.ru/samostoyatelnaya-rabota-studentov-53-chasov.html
  • ekzamen.bystrickaya.ru/sozdanie-i-deyatelnost-komissii-po-borbe-s-lzhenaukoj-v-a-zhigalov-zhigalovgmail-com.html
  • shpargalka.bystrickaya.ru/v-vserossijskaya-konferenciya-profuchastnikov-plenarnie-zasedaniya-kruglie-stoli-sekcii.html
  • upbringing.bystrickaya.ru/kruiz-v-ameriku-severnim-putem-na-lajnere-eurodam-klass-premium-kratkoe-opisanie-ekskursij-v-portah-zahoda.html
  • lektsiya.bystrickaya.ru/programma-dlya-studentov-iv-vkursov-specialnosti-290300-promishlennoe-i-grazhdanskoe-stroitelstvo.html
  • predmet.bystrickaya.ru/rol-obrazovaniya-v-razvitie-lichnosti-obuchayushegosya-o-vipolnenii-moskvoj-funkcij-regiona-konsultanta-i-informatizacii.html
  • zadachi.bystrickaya.ru/trebovaniya-k-materialno-tehnicheskomu-obespecheniyu-uchebnogo-processa-po-napravleniyu-podgotovki-diplomirovannih-specialistov-653200-transportnie-mashini-i-transportno-tehnologicheskie-kompleksi-stranica-17.html
  • znaniya.bystrickaya.ru/rabochaya-programma-uchebnoj-disciplini-metodika-prepodavaniya-prava-napravlenie-podgotovki-030500-68-yurisprudenciya.html
  • universitet.bystrickaya.ru/tendenc-rozvitku-upravlnsko-dumki-metodi-dosldzhen-u-psiholog-upravlnnya.html
  • © bystrickaya.ru
    Мобильный рефератник - для мобильных людей.