.RU

Занятие 12 Ученые-математики, внесшие свой вклад в развитие теории диофантовых уравнений(семинарское занятие)


^ Занятие 12
Ученые-математики, внесшие свой вклад в развитие
теории диофантовых уравнений
(семинарское занятие)
План

  1. Вступительное слово учителя.

  2. Король любителей — П. Ферма.

  3. Воплощенный анализ — Л. Эйлер.

  4. Величественная пирамида — Ж. Лагранж.

  5. Король математиков — К. Гаусс.

  6. Подведение итогов.

Оборудование: компьютер, проектор, портреты ученых (слайды с портретами).

Это семинарское занятие строится аналогично занятию № 9. Семинар чаще всего используют для рассмотрения дополнительного материала, воспроизведения которого учащимися не требуется, но предлагаемые выводы, факты весьма полезны и интересны.

Цель проведения: познакомить учащихся с историей развития теории диофантовых уравнений, с биографией великих математиков, внесших свой вклад в теорию диофантовых уравнений, показать связь данной теории с другими вопросами математики, с жизнью, практикой.

Проведение семинарских занятий активизирует процесс обучения, способствует формированию у школьников познавательных и исследовательских умений, навыков выступления перед аудиторией с самостоятельными сообщениями, учит их дискутировать, отстаивать свои суждения.

Для подготовки докладов (презентаций) по вопросам семинара учащимся можно рекомендовать литературу из списка [3; 4; 5; 6; 8; 14; 23],
а также предложить провести поиск информации в сети Интернет.
^ Подведение итогов курса
Завершить проведение элективного курса можно во внеурочное время, используя такую форму внеклассной работы как математическое соревнование. Условно его можно назвать «Математик-бизнесмен».

^ Цель соревнования:

1) проверка практических умений и навыков, сформированных у учащихся в ходе изучения курса и усвоение некоторых вопросов и теоретического характера,

2) развитие познавательного интереса учащихся к математике и ориентация их на изучение математики в профильном классе в дальнейшем.

Суть игры: учащиеся делятся на две команды; каждая команда — финансово-кредитное учреждение (т. е. банк), которое осуществляет денежные расчеты и наращивает «капитал». Для подготовки к соревнованиям учащимся необходимо повторить основные способы решения диофантовых уравнений, капитан команды (руководитель банка) может провести консультации для членов своей команды.

^ Задача команды: выбирая и решая предложенные задания увеличивать свой первоначальный капитал, который составляет 100 000 р.

Правила игры:

  1. Каждому банку предлагается по очереди выбирать себе задание стоимостью 5 000, 10 000 или 15 000 р.

— если команда дает правильный ответ, то ее капитал увеличивается на стоимость задания;

— если ответ неправильный, то капитал уменьшается:

а) на 50 % стоимости задания, если другой банк также не сможет ответить верно;

б) 100 % стоимости задания, если другой банк дает правильный ответ, а команда, представляющая этот банк, получает прибавку к своему капиталу, равную 100 % стоимости задания.

Победителем считается тот банк, у кого больше «денег».

Задания для игры, стоимостью от 5 до 15 тыс. р. приведены в Приложении 3.

Время на проведение игры — 1 час.

При подведении итогов игры нужно также отметить наиболее отличившихся учащихся, которые показали хороший уровень усвоения материала, были активны на занятиях курса, сделали интересные презентации.

На игру можно пригласить и родителей учащихся, которые могут
в качестве зрителей внести свою лепту в копилку банка, выполняя какие-либо специально подобранные для них задания (можно и шуточные).

В завершение соревнований поблагодарить учащихся за выбор данного элективного курса и пригласить их для продолжения обучения в 10 класс физико-математического (естественно-научного) профиля.
^ Библиографический список

  1. Алимов, Ш. А. Алгебра [Текст] : учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров [и др.]. — М. : Просвещение, 2004.

  2. Бабинская, И. Л. Задачи математических олимпиад [Текст] / И. Л. Бабинская. — М. : Просвещение, 1975.

  3. Башмакова, И. Г. Диофант и диофантовы уравнения [Текст] / И. Г. Башмакова. — М. : Наука, 1972.

  4. Белл, Э. Т. Творцы математики: Предшественники современной математики [Текст] : пособие для учителей / Э. Т. Белл ; пер. с англ. В. Н. Тростникова,
    С. Н. Киро, Н. С. Киро / под ред. и с доп. С. Н. Киро. — М. : Просвещение, 1979.

  5. Болгарский, Б. В. Очерки по истории математики [Текст] / Б. В. Болгарский. — Мн., 1979.

  6. Варпаховский, Ф. П. О решении десятой проблемы Гильберта [Текст] /
    Ф. П. Варпаховский, А. Н. Колмогоров // Квант. — 1970. — № 7.

  7. Груденов, Я. И. Совершенствование методики работы учителя математики [Текст] / Я. И. Груденов. — М. : Просвещение, 1990.

  8. Даан-Дальмедико, А. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики [Текст] / А. Даан-Дальмедико, Ж. Пейфер ; пер. с фр. — М. : Мир, 1986.

  9. Дорофеев, Г. В. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 8 класс [Текст] : учеб. для общеобразоват. учеб. заведений / Г. В. Дорофеев, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович [и др.] ; под ред. Г. В. Дорофеева. — М. : Дрофа, 2001.

  10. Иванова, Г. А. Лекционно-семинарская система обучения [Текст] / Г. А. Иванова // Математика в школе. — 1987. — № 3. — С. 11—13.

  11. Каспржак, А. Г. Проблема выбора: элективные курсы в школе [Текст] /
    А. Г. Каспржак. — М. : Новая школа, 2004.

  12. Колесникова, Ф. Ж. Профессиональная работа учителя математики. [Текст] / Ф. Ж. Колесникова // Математика в школе. — 1977. — № 2. — С. 31—33.

  13. Кордемский, Б. А. Этому виду задач более 1 600 лет [Текст] / Б. А. Кордемский // Квант. — 1973. — № 4. — С. 38—41.

  14. Крафт, Х. Алгебраические кривые и диофантовы уравнения [Текст] /
    Х. Крафт // Живые числа : сб. ст. ; пер. с нем. — М. : Мир, 1986.

  15. Макарычев, Ю. Н. Алгебра [Текст] : учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков [и др.] ; под ред. С. А. Теляковского. — М. : Просвещение, 1995.

  16. Математическая энциклопедия. Т. 2. [Текст] / под ред. И. М. Виноградова. — М. : Советская энциклопедия, 1979.

  17. Нудельман, А. Г. Формирование профессиональной ориентации учащихся в процессе изучения математики [Текст] / А. Г. Нудельман // Математика в школе. — 1981. — № 4. — С. 53—55.

  18. Перевощикова, Е. Н. Составление таблицы-конспекта во время школьной лекции [Текст] / Е. Н. Первощикова // Математика в школе. — 1988. — № 3. —
    С. 21—24.

  19. Перельман, Я. И. Занимательная алгебра [Текст] / Я. И. Перельман. — М. : Наука, 1976.

  20. Сергеев, И. Н. Примени математику [Текст] / И. Н. Сергеев, С. Н. Олехник [и др.]. — М. : Наука, 1989.

  21. Фоминых, Ю. Ф. Диофантовы уравнения [Текст] / Ю. Ф. Фоминых // Математика в школе. — 1996. — № 6.

  22. Чередов, М. М. Формы учебной работы в средней школе / М. М. Чередов. — М. : Просвещение, 1988.

  23. Шибасов, Л. П. От единицы до бесконечности [Текст] / Л. П. Шибасов. — М. : Дрофа, 2004.

  24. Школьная энциклопедия. Математика [Текст] / под ред. С. М. Никольского — М. : Большая рос. энциклопедия, 1996.

  25. Элективные ориентационные курсы и другие средства профильной ориентации в предпрофильнной подготовке школьников [Текст] : учеб.-методич. пособие / науч. ред. С. Н. Чистяков. — М. : АПК и ПРО, 2003.



Приложения
Приложение 1

Сборник задач

  1. Найдите все пары натуральных чисел, которые являются решениями уравнения:

а) x + у = 11; б) 3х + 5у = 17.

  1. Учащиеся 9 класса выполняли тест, содержащий задания по алгебре и геометрии. За каждый верный ответ на алгебраический вопрос выставлялось 3 балла, а на геометрический — 4 балла. Ученик верно ответил на все вопросы теста и получил 100 баллов. Сколько в тесте было заданий по алгебре и сколько по геометрии?

  2. Ученики начальной школы на уроке математики выкладывают из палочек пятиугольники и шестиугольники. Всего в наборе 100 палочек. Сколько пятиугольников и сколько шестиугольников можно выложить, чтобы использованными оказались все палочки?

  3. На неделю учащимся 9 класса было предложено для решения два списка задач: по алгебре и по геометрии. За каждую правильно решенную задачу по алгебре выставлялось 4 балла, а по геометрии — 5 баллов. Николай за выполненную им работу получил 80 баллов. Сколько задач по алгебре и сколько по геометрии решил Николай, если известно, что в каждом списке было 15 задач?

  4. Из двух рублевых и пятирублевых монет составлена сумма в 23 р. Сколько среди этих монет двухрублевых?

  5. Решить уравнение на множестве целых чисел:

а) 7х + 11у = 69; в) 5х + 29у = 39;

б) 3х + 17у = 143; г) 7х + 31у = 90.

  1. Для газификации жилого дома требуется проложить газопровод длиной 150 м. Имеются трубы 13 м и 9 м длиной. Сколько требуется труб, чтобы не приходилось их разрезать при прокладке газопровода?

  2. Туристическое бюро организует поездки на автомашинах двух типов: 23-местных автобусах и 6-местных автомобилях. Группа туристов состоит из 310 человек. Сколько машин того и другого типа следует выделить, чтобы не осталось свободных мест в салоне?

  3. Транспортные организации имеют в наличие машины вместимостью 3,5 т и 4,5 т. Следует перевезти груз весом 53 т. Сколько машин нужно взять для одного рейса?

  4. На 6 200 р. школой было закуплено некоторое количество шахмат
    и шашек, стоимостью соответственно 460 и 190 р. Сколько комплектов шахмат и шашек можно купить, чтобы рационально использовать эти деньги?

  5. Школа получила 1 млн руб. на приобретение 100 единиц учебного оборудования (на всю сумму без остатка). Администрации школы предложили, оборудование стоимостью 3 000, 8 000 и 12 000 р. за единицу. Сколькими способами школа может закупить это оборудование? Укажите один из способов.

  6. Представьте дробь в виде цепной дроби:

а) 7/11; б) 3/8; в) 9/5; г) 17/3.

  1. Несколько лет назад были входу монеты по 3 и 5 к. Сколькими способами можно набрать ими сумму в 10 р.?

  2. Надо разлить 15 л жидкости в бутыли емкостью в 0,5 и 0,8 л так, чтобы все использованные бутыли были полными. Сколько потребуется бутылей той и другой емкости?

  3. Сколько можно купить на 100 монет петухов, кур и цыплят, если всего надо купить 100 птиц, причем петух стоит 5 монет, курица — 4, а 4 цыпленка — одну монету?

  4. Крестьянка несла на базар корзину яиц. Неосторожный всадник, обгоняя женщину, задел корзину, и все яйца разбились. Желая возместить ущерб, он спросил у крестьянки, сколько яиц было в корзине. Она ответила, что число яиц не знает, но когда она раскладывала их по 2, по 3, по 4, по 5 и по 6, то каждый раз одно яйцо оставалось лишним, а когда она разложила по 7, лишних яиц не осталось. Сколько яиц несла крестьянка на базар?

  5. «Продажа кур» (старинная задача).

Три сестры пошли на рынок с курами. Одна принесла для продажи
10 кур, другая — 16, третья — 26. До полудня они продали часть своих кур по одной и той же цене. После полудня, опасаясь, что не все куры будут проданы, они понизили цену и распродали оставшихся кур снова по одинаковой цене. Домой все трое вернулись с одинаковой выручкой: каждая сестра получила от продажи 35 р. По какой цене они продавали кур до и после полудня?

  1. Решить способом измельчения в целых числах уравнение:

а) 5х + 8у = 39; б) 7х + 11у = 43.

  1. Решить в целых числах 29х + 13у + 56z = 17.

  2. Шехерезада рассказывает свои сказки великому правителю. Всего она должна рассказать 1 001 сказку. Сколько ночей потребуется Шехерезаде, чтобы рассказать все свои, если x ночей она будет рассказывать по
    3 сказки, а остальные сказки по 5 за у ночей?

  3. Найти целые решения уравнения 10х + 21у = 23 каждым из изученных способов.

  4. Найти двузначное число, у которого увосьмеренное число единиц на 13 меньше утроенного числа десятков.

  5. Некоторое число экскурсантов, разместившихся поровну в 5 автобусах (каждый автобус вмещает не более 54 человек), были доставлены на вокзал. Там к ним присоединились еще 7 человек, и все экскурсанты распределились поровну в 14 вагонах. Сколько всего было экскурсантов?

  6. Решите в натуральных числах x2 – 4ху – 5y2 = 1 996.

  7. Докажите, что система уравнений не имеет решений в целых числах

.

  1. Для числа 13 = 22 + 32 найти два других, сумма квадратов которых равна 13.

  2. Найти число, которое при делении на 3 дает остаток 2, при делении на 5 — остаток 3, а при делении на 7 — остаток 2.

  3. Найти два числа, произведение которых, сложенное с каждым из данных чисел, составит куб некоторого числа.

  4. «После кораблекрушения»

Пять моряков высадились на остров и к вечеру собрали кучу кокосовых орехов. Дележ отложили на утро. Один из них, проснувшись ночью, пересчитал добычу, угостил одним орехом мартышку, а из остальных орехов взял себе точно 1/5 часть, после чего вновь лег спать и быстро уснул. За ночь так же поступили один за другим и остальные моряки; при этом каждый не знал о действиях своих предшественников. Наутро они поделили оставшиеся орехи поровну, но для мартышки в этот раз лишнего ореха не осталось. Сколько орехов собрали моряки?

  1. Некто купил 30 птиц за 30 монет, уплатив за каждые 3 воробья по одной монете, за каждые 2 горлицы — тоже по 1 монете, за каждого голубя — по 2. Сколько куплено птиц каждого вида?

  2. Найдите все целые числа, которые удовлетворяют уравнению

x – 2xy + 3 – 4y = 0.

  1. В один год заочной школе исполнилось A лет, а ее основателю — B лет. Найдите A и B, если известно, что уравнение x2 – Ax + В = 0 имеет два целых корня, один из которых — куб другого.

  2. Найдите четыре таких различных целых числа, чтобы сумма любых двух из них была квадратом целого числа.

Иначе, решите систему:

x + y = a2,

x + z = b2,

x + t = c2,

y + z = d2,

y + t = e2,

z + t = f2.

Приложение 2


Темы рефератов

(для подготовки к семинарским занятиям)

  1. Теорема Пифагора и диофантовы уравнения.

  2. Пифагор, Герон, Евклид — известные древнегреческие ученые.

  3. Большая теорема Ферма.

  4. Известные диофантовы уравнения.

  5. Король любителей — П. Ферма.

  6. Воплощенный анализ — Л. Эйлер.

  7. Величественная пирамида — Ж. Лагранж.

  8. Король математиков — К. Гаусс.

Задания могут выполняться как группой учащихся, так и индивидуально.


Приложение 3


Задания для игры «Математик-бизнесмен»


Задания стоимостью 5 000 р.

  1. Вы должны уплатить за купленный в магазине блокнот 19 р. У вас одни лишь двухрублевки, у кассира — только пятирублевки. Можете ли вы при наличии таких денег расплатиться с кассиром и как именно?

  2. Требуется на 1 р. купить 40 штук почтовых марок — 1-копеечных, 4-копеечных, 12-копеечных. Сколько окажется марок каждого достоинства?

  3. На 500 р. куплено 100 штук разных фруктов. Цены на них таковы: арбуз, 1 шт. — 50 р., яблоки, 1 шт. — 10 р., сливы, 1 шт. — 1 р. Сколько фруктов каждого рода было куплено?

Задания стоимостью 10 000 р.

  1. В классе 35 учеников. Они собрали библиотеку для младших школьников. Для этого каждый принес от 4 до 6 книг — и получилось 180 книг. Каких учеников в классе больше — тех, кто принес по 4, или тех, кто принес по 6 книг? Укажите одно из распределений учеников по количеству принесенных книг.

  2. Каждым выстрелом по мишени стрелок выбивает по 8, 9 или 10 очков. Он произвел более 11 выстрелов и выбил 100 очков. Сколько он сделал выстрелов? С каким результатом?

  3. Пятиклассник расставляет игрушечных солдатиков по 10 в шеренгу. В последней шеренге не хватило трех солдатиков. Он стал ставить
    в шеренгу по 12 солдатиков — 7 осталось. Затем он уложил их в коробки по 100 шт. — третья коробка оказалась неполной. Сколько всего солдатиков у школьника?

Задания стоимостью 15 000 р.

  1. У школьника было 60 р. Он решил купить несколько жевательных резинок и на 8 штук больше конфет «Чупа-чупс». В киоске он увидел, что намеренное число резинок стоит 10 р., а конфет — 90 р. Тогда он решил купить столько жевательных резинок, сколько рассчитывал купить конфет, а конфет — сколько резинок. Сколько он купил конфет и жевательных резинок?

  2. «Два числа, четыре действия». Над двумя целыми положительными числами были выполнены следующие четыре действия:

  1. их сложили,

  2. вычли из большего меньшее,

  3. перемножили,

  4. разделили большее на меньшее.

Полученные результаты сложили — составилось 243. Найти эти числа.

9. Имеются ли на прямой 13х – 5у + 96 = 0 точки с целыми координатами, не превосходящие по абсолютной величине число 10?


Учебно-методическое издание


Шатилова Алла Валерьевна,

Шатилов Денис Сергеевич


Элективный курс
«Сказки Шехерезады и уравнения Диофанта»


^ Учебно-методическое пособие

для студентов математических и физико-математических
специальностей педагогических высших учебных заведений


Редактор М. Б. Иванова

Корректор Н. Н. Дробышева


Подписано в печать 30.01.09. Формат 60×84/16.

Уч.-изд. л. 2,6. Усл.-печ. л. 3,5.

Тираж 100 экз. Заказ №


Издательство «Николаев»,

г. Балашов, Саратовская обл., а/я 55.


Отпечатано с оригинал-макета,

изготовленного издательской группой
Балашовского института (филиала)

Саратовского государственного университета

им. Н. Г. Чернышевского.

412300, г. Балашов, Саратовская обл., ул. К. Маркса, 29.


Печатное агентство «Арья»,

ИП «Николаев», Лиц. ПЛД № 68-52.

412340, г. Балашов, Саратовская обл.,

ул. К. Маркса, 43.

E-mail: arya@balashov.san.ru


А. В. Шатилова, Д. С. Шатилов


Элективный курс

«Сказки Шехерезады
и уравнения Диофанта»


zhurnalistika-dlya-nachinayushih-v-poiskah-temi-i-informacii.html
zhurnalistika-i-menedzhment.html
zhurnalistika-konca-xix-veka-chast-5.html
zhurnalistika-sredstva-massovoj-informacii-byulleten-novih-postuplenij-za-aprel-2004-goda.html
zhurnalistika-xviii-veka-chast-3.html
zhurnalistika-xviii-veka.html
  • kolledzh.bystrickaya.ru/9-zadaniya-na-vipolnenie-raschetno-graficheskih-rabot-2.html
  • kanikulyi.bystrickaya.ru/vzaimodejstvie-gosdumi-s-federalnimi-organami-gosduma-rf-monitoring-smi-12-oktyabrya-2006-g.html
  • notebook.bystrickaya.ru/informacionnij-byulleten-samara.html
  • kontrolnaya.bystrickaya.ru/raspisanie-lekcij-dlya-studentov-5-kursa-lechebnogo-i-sportivnogo-fakultetov-na-osennij-semestr-20102011-uchebnogo-goda-lekcii-chitayutsya-po-pyatnicam-v-auditorii-6-s-13-10.html
  • teacher.bystrickaya.ru/glava-5illyuziya-vtorayaprostituciya-samotnost-yak-tema-smert-potana-dlya-nasho-svdomost-avtor-namagatsya.html
  • zadachi.bystrickaya.ru/moler-pochemu-smeshon-gospodin-zhurden.html
  • gramota.bystrickaya.ru/zadachi-disciplini-uspeshnoe-osvoenie-kursa-pozvolyaet-studentam-1-orientirovatsya-v-zakonodatelstve-reguliruyushem-rassmotrenie-grazhdanskih-del-v-sude-obshej-yurisdikcii.html
  • occupation.bystrickaya.ru/normi-sovremennogo-russkogo-literaturnogo-yazika.html
  • tests.bystrickaya.ru/lichizhik-problemi-pensionnogo-obespecheniya-severyan-v-usloviyah-provedeniya-pensionnoj-reformi.html
  • universitet.bystrickaya.ru/statut-na-disciplinata-v-uchebniya-plan-zadlzhitelna-uchebna-disciplina-za-studenti-ot-fa-na-tu-sofiya-za-obrazovatelno-kvalifikacionnata-stepen-bakalavr-celi-na-uchebnata.html
  • doklad.bystrickaya.ru/uchebno-metodicheskij-kompleks-disciplini-cenoobrazovanie-specialnost-080107-65-nalogi-i-nalogooblozhenie.html
  • holiday.bystrickaya.ru/nekotorie-zadachi-optimizacii-v-ekonomike.html
  • thescience.bystrickaya.ru/identifikaciya-biomarkerov-psoriaza-programma-fundamentalnih-issledovanij-prezidiuma-ran-fundamentalnie-nauki.html
  • books.bystrickaya.ru/doklad-ob-ekologicheskoj-situacii-stranica-17.html
  • university.bystrickaya.ru/glava-9-yurij-nikitin.html
  • university.bystrickaya.ru/formirovanie-navikov-zozh-u-vospitannikov-analiticheskij-otchet-moudod-cdt-4-za-2009-2010-uchebnij-god.html
  • report.bystrickaya.ru/izmenenie-eritrocitarnih-parametrov-pri-anemii-uchebnoe-posobie-izdanie-vtoroe-dopolnennoe-i-pererabotannoe.html
  • tasks.bystrickaya.ru/-51-harakteristiki-igrovoj-novikov-a-m-n73-metodologiya-obrazovaniya-izdanie-vtoroe.html
  • essay.bystrickaya.ru/dokladi-predstavlyaemie-gosudarstvami-uchastnikami-v-sootvetstvii-so-statej-9-konvencii-stranica-7.html
  • turn.bystrickaya.ru/padshij-angel-palata-7.html
  • college.bystrickaya.ru/-7-socialnij-biheviorizm-m-g-yaroshevskij-istoriya-psihologii.html
  • student.bystrickaya.ru/3-509-slyozi-ne-udel-neudachnic-eto-takoj-dushevnij-shlyuz-cherez-kotorij-uhodyat-strahi-somneniya-perezhivaniya.html
  • paragraph.bystrickaya.ru/l-v-filippova-31-avgusta-2010g-polozhenie.html
  • doklad.bystrickaya.ru/vosproizvodstvo-monitoring-i-ohrana-prirodnih-prirodno-antropogennih-i-antropogennih-landshaftov.html
  • uchit.bystrickaya.ru/tekst-lekcij-i-poyasneniya-k-resheniyu-zadach-dlya-studentov-5-kursa-po-specialnosti-finansovij-menedzhment.html
  • assessments.bystrickaya.ru/dokumenta-postanovlenie-administracii-altajskogo-kraya-ot-29-05-2007-n-239.html
  • shkola.bystrickaya.ru/ovod-vojnich-etel-lilian.html
  • zanyatie.bystrickaya.ru/statisticheskij-analiz-osnovnih-socialno-ekonomicheskih-pokazatelej-rossijskoj-federacii-za-period.html
  • literatura.bystrickaya.ru/silovoj-raschet-mehanizmov-stranica-4.html
  • student.bystrickaya.ru/1-etap-vipolnenie-sleduyushih-rabot-po-kontraktu-mamonovo-gzhehotki.html
  • uchitel.bystrickaya.ru/publichnij-otchet-o-rabote-gou-nosh-shkola-zdorovya.html
  • tasks.bystrickaya.ru/22-ostatki-gotovoj-produkcii-v-naturalnom-virazhenii-oao-strojmash-poyasnitelnaya-zapiska-k-godovoj-buhgalterskoj.html
  • urok.bystrickaya.ru/poyasnitelnaya-zapiska-mesto-disciplini-v-professionalnoj-podgotovke-vipusknika-cel-i-zadachi-izucheniya-kursa.html
  • zadachi.bystrickaya.ru/mezhdunarodnie-valyutnie-rinki-mezhdunarodnie-valyutnie-operacii-i-valyutnoe-regulirovanie.html
  • holiday.bystrickaya.ru/obzornaya-ekskursiya-po-g-sankt-peterburg.html
  • © bystrickaya.ru
    Мобильный рефератник - для мобильных людей.