.RU

Занятие 2 Решение диофантовых уравнений способом перебора вариантов - Элективный курс «Сказки Шехерезады и уравнения...


^ Занятие 2
Решение диофантовых уравнений
способом перебора вариантов
План занятия

  1. Актуализация знаний учащихся по теме «Линейное уравнение
    с двумя переменными».

  2. Изучение нового материала. Определение диофантова уравнения, диофантова уравнения первой степени с двумя переменными. Способ перебора вариантов как один из методов нахождения целых (натуральных) решений диофантовых уравнений.

  3. Решение задач способом перебора вариантов.

  4. Постановка домашнего задания.

Оборудование: кодоскоп, слайды с заданиями, карточки с заданиями.


Ход занятия

1. Актуализация знаний

Рассмотрим задачу.

В клетке находится x фазанов и у кроликов. Сколько в клетке фазанов и кроликов, если общее количество ног равно 62.

Общее число ног можно записать с помощью уравнения 2х + 4у = 62. (*)

Это равенство, которое мы составили по условию задачи, как вы знаете, называют уравнением с двумя переменными. Более того, данное уравнение мы называли линейным уравнением. Линейные уравнения играют важную роль при решении различных задач. Напомним основные положения, связанные с этим понятием.

Определение. Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида ax + by = c, где x и у — переменные, а, b и с — некоторые числа.

Однозначно определить из уравнения (*) значения x и y нельзя. Даже если ограничиться только натуральными значениями переменных, здесь могут быть такие случаи: 1 и 15, 3 и 14, 5 и 13 и т. д.

Определение. Пара чисел (a; b) называется решением уравнения
с двумя переменными, если при замене x на а и y на b получаем истинное равенство.

Каждому уравнению с двумя переменными соответствует множество его решений, т. е. множество, состоящее из всех пар чисел (a; b), при подстановке которых в уравнение получается истинное равенство. При этом, конечно, если заранее указаны множества Х и Y, которые могут принимать неизвестные x и у, то надо брать лишь такие пары (a; b), для которых а принадлежит Х и b принадлежит Y.

Пару чисел (a; b) можно изобразить на плоскости точкой М, имеющей координаты а и в, М = М (a; b). Рассматривая изображения всех точек множества решений уравнения с двумя неизвестными, получим некоторое подмножество плоскости. Его называют графиком уравнения.

Можно доказать, что графиком линейного уравнения с двумя переменными, в котором хотя бы один из коэффициентов не равен нулю, является прямая линия. Для построения графика этого уравнения достаточно взять две точки с координатами и провести через них прямую.

Два уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения называются равносильными.

Например, равносильны уравнения х + 2у = 5 и 3х + 6у = 15 — любая пара чисел, удовлетворяющая одному из этих уравнений, удовлетворяет
и второму.

Уравнения с двумя переменными обладают такими же свойствами, как и уравнения с одной переменной:

1) если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному;

2) если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

С помощью линейных уравнений с двумя переменными можно решать различные текстовые задачи, которые сводятся обычно к нахождению целых (натуральных) решений уравнения, причем часто коэффициенты при переменных в этих уравнениях являются целыми числами.

^ 2. Изучение нового материала

Алгебраические уравнения с целыми коэффициентами, решаемые во множестве целых (реже рациональных) чисел, вошли в историю математики как диофантовы. Учитель обращает внимание на то, что различные текстовые задачи часто можно решать с помощью некоторого уравнения или системы уравнений. При этом стремимся составить по условиям задачи столько независимых уравнений, сколько имеется неизвестных. Но иногда это сделать невозможно: число независимых уравнений, которые можно составить по условию задачи, меньше числа неизвестных. Однако достаточно часто условие задачи накладывает какие-то другие дополнительные ограничения на неизвестные, которые вместе с полученными уравнениями позволяют найти значения неизвестных. Так, из условия может быть ясно, что искомые числа — целые или натуральные или заключенные в заданных пределах. Как, например, в задаче про кроликов и фазанов.

Таким образом, учитель подводит учащихся к определению диофан-
товых уравнений вообще и диофантовых уравнений первой степени
с двумя переменными в частности. Обращается внимание учащихся на то, что фактически данное уравнение является линейным с двумя переменными, с которым они знакомились в курсе алгебры.

Мы будем рассматривать задачи, которые сводятся к решению диофантова уравнения первой степени с двумя неизвестными: (1), где a, b, c — целые коэффициенты.

Существует несколько способов решения уравнения (1). На этом занятии рассмотрим способ перебора вариантов.

Рассматривая способ перебора вариантов, необходимо учитывать количество возможных решений уравнения. Целесообразно использовать задачи, у которых количество решений не превышает 5. Например, этот способ можно применить, решая задачу № 546 [9].

№ 546 [9].

Андрей работает летом в кафе. За каждый час ему платят 10 р. И высчитывают 2 р. за каждую разбитую тарелку. На прошедшей неделе он заработал 180 р. Определите, сколько часов он работал и сколько разбил тарелок, если известно, что он работает не более 3 ч в день.

Решение.

Пусть x часов он всего работал в неделю, тогда 10х р. ему заплатили, но он разбил у тарелок, и с него вычли 2у р. Имеем уравнение 10х – 2у = 180, причем x меньше или равен 21. Получим: 5х – у = 90, 5х = 90 + у, х = 18 + у : 5.

Так как x — целое число, то у должно нацело делится на 5, чтобы
в правой части получилось целое число. Возможны четыре случая:

  1. у = 0, х = 18, т. е. решением является пара — (18; 0);

  2. у = 5, х = 19, (19; 5);

  3. у = 10, х = 20, (20; 10);

  4. у = 15, х = 21, (21; 15).

^ 3. Решение задач

Для решения на занятии можно предложить задачи № 1(а), 2, 5 из Приложения 1. Приведем решение задачи № 5.

Задача № 5. Из двухрублевых и пятирублевых монет составлена сумма в 23 р. Сколько среди этих монет двухрублевых?

Решение.

Пусть x — количество двухрублевых монет, у — количество пятирублевых монет. Составим и решим уравнение: 2х + 5у = 23; 2х = 23 – 5у;
x = (23 – 5у) : 2; x = (22 + 1 – 5у) : 2, почленно поделим 22 на 2 и (1 – 5у) на 2, получим: x = 11 + (1 – 5у) : 2.

Так как x и y — натуральные числа по условию задачи, то левая часть уравнения есть натуральное число, значит, и правая часть должна быть натуральным числом. К тому же, чтобы получить в правой части число натуральное, нужно чтобы выражение (1 – 5у) нацело делилось на 2. Осуществим перебор вариантов.

  1. y = 1, х = 9, то есть двухрублевых монет может быть 9;

  2. у = 2, при этом выражение (1 – 5у) не делится нацело на 2;

  3. у = 3, х = 4, то есть двухрублевых монет может быть 4;

  4. при у больше или равном 4 значение x не является числом натуральным.

Таким образом, ответ в задаче: среди монет 9 или 4 двухрублевых.

В заключение занятия нужно вернуться к задаче «о сказках Шехерезады» (смотри занятие № 1), которую учащимся предлагалось рассмотреть дома, обсудить какие и сколько решений получили учащиеся.

Решение.

Решим диофантово уравнение 3х + 5у = 1 001, где x и у — натуральные корни, способом перебора вариантов.

x = (1 001 – 5у):3; так как x — натуральное число, то и в правой части равенства также должно быть натуральное число, а значит выражение (1 001 – 5у) должно нацело делиться на 3.

Осуществим перебор вариантов.

у = 1, 1 001 – 5у = 1001 – 5 = 996, 996 делится на 3; следовательно,
х = 332; решение (332; 1);

у = 2, 1 001 – 10 = 991; 991 не делится на 3;

у = 3, 1 001 – 15 = 986; 986 не делится на 3;

у = 4, 1 001 – 20 = 981; 981 делится на 3; следовательно, x = 327, решение (327; 4) и т. д.


Замечание. В данной задаче решением является 67 пар возможных корней, поэтому в ходе обсуждения можно выполнить несколько переборов вариантов. Подчеркнуть, что способ перебора вариантов не совсем эффективен для решения данной задачи, так как для нахождения всех решений уравнения требуется много времени. Все вышесказанное определяет актуальность рассмотрения общих способов решения диофантовых уравнений первой степени, которые станут предметом изучения на следующих занятиях.

^ 4.»Домашнее задание (в домашнее задание включаются упражнения, аналогичные, разссмотренным заданиям в классе).

  1. Выучить определение диофантова уравнения первой степени, повторить основные сведения по теме «Линейные уравнения с двумя переменными», знать суть способа перебора вариантов для решения диофантовых уравнений.

  2. Решить № 1(б), 3, 4 из Приложения 1.

  3. Составить сюжетную задачу, математической моделью которой является уравнение из № 1(б).

zhurnalistskij-obraz-kak-sredstvo-organizacii-zhurnalistskogo-proizvedeniya.html
zhurnalistskoe-rassledovanie-chast-10.html
zhurnalistskoe-rassledovanie-chast-3.html
zhurnalistskoe-rassledovanie-chast-8.html
zhurnalistskoe-rassledovanie-poiski-zhanra-chast-3.html
zhurnalnij-stol.html
  • tests.bystrickaya.ru/lekciya-poiskovie-mashini.html
  • bukva.bystrickaya.ru/stilisticheskaya-funkciya-skvoznih-povtorov-v-proizvedeniyah-selindzhera-chast-2.html
  • pisat.bystrickaya.ru/tema-4-nauka-i-teoriya-nauki-v-antichnosti-tema-ideya-filosofii-nauki-eyo-cel-i-osnovnie-problemi-nachinaya-izuchenie.html
  • esse.bystrickaya.ru/razdel-2-podgotovka-dokumentov-plan-raboti-administracii-goroda-volgodonska-na-2010-god-celi.html
  • writing.bystrickaya.ru/20-noyabrya-2009-dati-i-sobitiya-o-kotorih-stoit-znat.html
  • education.bystrickaya.ru/23soderzhanie-uchebnogo-kursa-programma-disciplini-ugolovno-processualnoe-pravo-rf-obrazovatelnaya-programma.html
  • institute.bystrickaya.ru/glava-ivdidakticheskie-osnovilogopedicheskih-zanyatijs-zaikayushimisya-detmi.html
  • laboratornaya.bystrickaya.ru/rasprostranitel-oficialno-izdannih-standartov-organizacij-oao-rao-ees-rossii-stranica-3.html
  • zadachi.bystrickaya.ru/o-nostradamuse-konce-sveta-i-veroyatnom-budushem-chelovechestva.html
  • portfolio.bystrickaya.ru/osobennosti-arhitekturnoj-tipologii-visotnih-zdanij.html
  • tasks.bystrickaya.ru/314-kontaktnaya-informaciya-111024-rossiya-moskva-ul-dushinskaya-d-7-str-1-informaciya-soderzhashayasya-v-nastoyashem.html
  • uchebnik.bystrickaya.ru/urok-po-istorii-drevnego-mira-s-ispolzovaniem-tehnologii-problemnogo-obucheniya-5-klass-tema-zarozhdenie-demokratii-v-afinah.html
  • education.bystrickaya.ru/14-parovoz-vospominanij-fedor-berezin.html
  • studies.bystrickaya.ru/233-obyazatelstva-emitenta-iz-obespecheniya-predostavlennogo-tretim-licam-ezhekvartalnijotche-t-emitenta-emissionnih-cennih-bumag.html
  • testyi.bystrickaya.ru/9-primer-oformleniya-psihokorrekcionnoj-programmi-e-posobie-dlya-prepodavatelej-i-studentov-sankt-peterburg.html
  • lecture.bystrickaya.ru/aktivnoe-pereklyuchenie-vnimaniya-obshaemsya-lichno-slushaem-zadaem-voprosi.html
  • report.bystrickaya.ru/kafedra-ugolovnogo-prava-i-processa-kvalifikaciya-prestuplenij-i-konkurenciya-ugolovno-pravovih-norm.html
  • tests.bystrickaya.ru/lekciya-5-metodi-postroeniya-matematicheskih-modelej-asu.html
  • znanie.bystrickaya.ru/6-deyatelnost-sovetskogo-pravitelstva-v-pervie-dni-vojni-yu-v-skorohod-laureat-gosudarstvennoj-premii-sssr.html
  • report.bystrickaya.ru/ibragimov-asadullo-habibullaevich-vitalij-ponomarev.html
  • kontrolnaya.bystrickaya.ru/rabochaya-uchebnaya-programma-disciplini-ekonomika-sistem-tgs-i-v.html
  • exchangerate.bystrickaya.ru/formirovanie-urozhaya-soi-v-zavisimosti-ot-razmerov-fotosinteticheskoj-poverhnosti-listev-v-posevah.html
  • esse.bystrickaya.ru/publichnij-otchet-amdou-detskij-sad-skazka-za-2010-2011-uchebnij-god-avtonomnoe-municipalnoe-doshkolnoe-obrazovatelnoe-uchrezhdenie-detskij-sad-skazka.html
  • tetrad.bystrickaya.ru/vii-monitoring-realizacii-polozhenij-federalnogo-zakona-kontrol-za-vipolneniem-gosudarstvennih-municipalnih-zadanij.html
  • tasks.bystrickaya.ru/4-fakticheskie-rezhimi-ispolzovaniya-vodnih-resursov-vodohranilisha-metodicheskie-ukazaniya-po-razrabotke-pravil-ispolzovaniya.html
  • grade.bystrickaya.ru/milliardom-nakroyut-krishi-gosduma-rf-monitoring-smi-3-iyulya-2008-g.html
  • tasks.bystrickaya.ru/-1-vvedenie-uchebnik-pod-red-o-e-lejsta-m-yuridicheskaya-literatura-1997-c-dobavleniem-glav-2006-goda-.html
  • obrazovanie.bystrickaya.ru/prinimaem-zayavki-po-organizacii-prazdnikov.html
  • writing.bystrickaya.ru/blyuda-iz-zapechennih-ovoshej.html
  • letter.bystrickaya.ru/molodim-vracham-dadut-po-millionu-rublej-16-na-voprosi-kostromichej-otvetit-vrach-urolog-17.html
  • uchenik.bystrickaya.ru/593-zadolzhennost-po-nalogam-i-sboram-i-socialnomu-obespecheniyu-otchet-otkritogo-akcionernogo-obshestva-korshunovskij.html
  • essay.bystrickaya.ru/byulleten-novih-postuplenij-uchebno-metodicheskoj-literaturi-za-yanvar-mart-2011-goda.html
  • student.bystrickaya.ru/11-ukreplenie-form-vzaimodejstviyas-mezhdunarodnimi-nepravitelstvennimii-pravitelstvennimi-organizaciyami.html
  • ekzamen.bystrickaya.ru/saba-zhospari-1-kn-toptar-12-12-14.html
  • uchit.bystrickaya.ru/strana-volhvov-lichnost-eto-chelovek-kotorij-yavlyaetsya-primerom-dlya-drugih-lichnost-eto-chelovek-postavivshij-cel.html
  • © bystrickaya.ru
    Мобильный рефератник - для мобильных людей.