.RU

«Золотое сечение» и компьютер Фибоначчи - Конспект лекций по курсу «Организация ЭВМ и систем» для студентов специальности...


^ «Золотое сечение» и компьютер Фибоначчи
Несмотря на специфику каждого этапа, фундаментальные научные идеи пронизывают все этапы научно-технического прогресса и оказывают влияние на различные области науки, искусства, философии, техники. К разряду таких фундаментальных идей относится идея Гармонии, связанная с Золотым Сечением.

Золотое Сечение и связанные с ним числа Фибоначчи пронизывают всю историю искусства. Пирамида Хеопса, самая известная из Египетских пирамид, знаменитый греческий храм Парфенон, большинство греческих скульптурных памятников, непревзойденная "Джоконда" Леонардо да Винчи, картины Рафаэля, Шишкина и современного русского художника Константина Васильева, этюды Шопена, музыка Бетховена, Чайковского и Бэлла Барток, "Модулор" Корбюзье - вот далеко не полный перечень выдающихся произведений искусства, наполненных чудесной гармонией, основанной на Золотом Сечении.
^ Геометрическое определение "золотого сечения"
Самым известным математическим сочинением античной науки являются "Начала Евклида". Это научное произведение написано Евклидом в 3 веке до новой эры и содержит основы античной математики: элементарную геометрию, теорию чисел, алгебру, теорию пропорций и отношений, методы определения площадей и объемов и др. Евклид подвел в этом сочинении итог трехсотлетнему развитию греческой математики и создал прочный фундамент для дальнейшего развития математики.

Именно из "Начал Евклида" к нам пришла следующая геометрическая задача, называемая задачей "о делении отрезка в крайнем и среднем отношении". Суть задачи состоит в следующем. Разделим отрезок АВ точкой С в таком отношении, чтобы большая часть отрезка СВ так относилась к меньшей части АС, как отрезок АВ к своей большей части СВ (Рис. 1), то есть:





(1)

А В

С

Рис. 1 Деление отрезка в крайнем и среднем отношении ("золотое сечение").

Обозначим отношение (1) через x. Тогда, учитывая, что АВ = АС + СВ, отношение (1) можно записать в следующем виде:





(2)


откуда вытекает следующее алгебраическое уравнение для вычисления искомого отношения x:


(3)

Из "физического смысла" отношения (1) вытекает, что искомое решение уравнения (2) должно быть положительным числом, откуда вытекает, что решением задачи о делении отрезка в крайнем и среднем отношении является положительный корень уравнения (2), который мы обозначим через t, то есть


(4)

Леонардо да Винчи назвал это число "золотым сечением" или "золотой пропорцией". Существует мнение, что Леонардо да Винчи не был первым, кто использовал такое название. Считается, что этот термин идет от Клавдия Птоломея, который дал ему такое название, убедившись, что рост человека правильного телосложения естественно делится именно в таком отношении. Закрепился же этот термин и стал популярным благодаря Леонардо да Винчи, который часто его использовал. Уравнение (2) часто называют "уравнением золотой пропорции".

Таким образом, хорошо известный в древнем мире простой прямоугольный треугольник с отношением катетов 1:2 мог послужить основой для открытия "теоремы квадратов", золотой пропорции и, наконец, "несоизмеримых отрезков" - трех великих математических открытий, приписываемых Пифагору.

Многие математические закономерности, как говорится "лежали на поверхности", их нужно было только увидеть человеку с аналитическим умом, мыслящему логически, чем и отличались античные философы и математики. Парадоксально, но теорему Пифагора знает каждый школьник в то время как с "золотым сечением" знакомы далеко не все.

^ Алгебраические свойства золотой пропорции
Что же это за "чудо" природы и математики, интерес к которому не только не увядает с течением времени, а наоборот - возрастает с каждым столетием. Для ответа на этот вопрос мы предлагаем напрячь все математические знания и погрузиться в мир математики - только таким путем вы сможете насладиться чудесными математическими свойствами золотой пропорции и через эти математические свойства понять и оценить всю красоту и гармонию золотой пропорции.

Начнем с алгебраических свойств "золотой пропорции". Из уравнения "золотой пропорции"





н
епосредственно вытекает первое очень простое и тем не менее весьма удивительное свойство золотой пропорции. Если корень t

подставить вместо x в уравнение (1), то мы получим следующее тождество для "золотой пропорции":






Убедимся, что тождество (2) является истинным. Для этого нам необходимо осуществить элементарные математические преобразования над левой и правой частями тождества (2) и доказать, что они совпадают.

Действительно, мы имеем для правой части:






Тождество (2) может быть представлено в виде:


и
ли





Проанализируем, например, тождество (3-b). Известно, что любое число а имеет обратное к нему число 1/а. Например, дробь 0.1 является числом, обратным к 10. Традиционный алгоритм получения обратного числа 1/а из исходного числа а состоит в делении числа 1 на число а. Это довольно сложная процедура. Попробуйте, например, путем деления получить число, обратное к числу а = 357821,093572. Это можно сделать только с помощью современного компьютера.
^ Рассмотрим теперь "золотую пропорцию"




Как получить из нее обратное число 1/t? Выражение (3-b) дает очень простой ответ на этот вопрос. Для этого достаточно вычесть единицу из "золотой пропорции" t.


^ Задача о размножении кроликов

Одним из наиболее известных математиков эпохи Средневековья по праву считается Леонардо Пизано Фибоначчи. Позже мы расскажем о Фибоначчи и его роли в развитии западноевропейской математики более подробно. По иронии судьбы Фибоначчи, который внес выдающийся вклад в развитие математики, стал известным в современной математике только лишь как автор интересной числовой последовательности, называемой числами Фибоначчи. Эта числовая последовательность была получена Фибоначчи при решении знаменитой "задачи о размножении кроликов". Формулировка и решение этой задачи считается основным вкладом Фибоначчи в развитие комбинаторики. Именно с помощью этой задачи Фибоначчи предвосхитил метод рекуррентных соотношений, который считается одним из мощных методов решения комбинаторных задач. Рекуррентная формула, полученная Фибоначчи при решении этой задачи, считается первой в истории математики рекуррентной формулой.

Существо своей "задачи о размножении кроликов" Фибоначчи сформулировал предельно просто:

"Пусть в огороженном месте имеется пара кроликов (самка и самец) в первый день января. Эта пара кроликов производит новую пару кроликов в первый день февраля и затем в первый день каждого следующего месяца. Каждая новорожденная пара кроликов становится зрелой уже через месяц и затем через месяц дает жизнь новой паре кроликов. Возникает вопрос: сколько пар кроликов будет в огороженном месте через год, то есть через 12 месяцев с начала размножения?"


Д
ля решения этой задачи, которая наглядно демонстрируется с помощью рисунка, обозначим через ^ A пару зрелых кроликов, а через B - пару новорожденных кроликов. Тогда процесс "размножения" может быть описан с помощью двух "переходов", которые описывают ежемесячные превращения кроликов в процессе размножения:





Заметим, что переход (1) моделирует ежемесячное превращение каждой зрелой пары кроликов А в две пары, а именно в ту же самую пару зрелых кроликов А и новорожденную пару кроликов В. Переход (2) моделирует процесс "созревания" кроликов, когда новорожденная пара кроликов В через месяц превращается в зрелую пару А. Тогда, если мы начнем в первом месяце со зрелой пары А, тогда процесс размножения кроликов может быть представлен с помощью Таблицы 1.



Дата

Пары кроликов

A

B

A + B

1-го января

A

1

0

1

1-го февраля

AB

1

1

2

1-го марта

ABA

2

1

3

1-го апреля

ABAAB

3

2

5

1-го мая

ABAABABA

5

3

8

1-го июня

ABAABABAABAAB

8

5

13


Заметим, что в столбцах А и В таблицы 1 указаны количества зрелых и новорожденных пар кроликов в каждом месяце года, а в таблице А+В - суммарное количество кроликов.

Изучая последовательности А-, В- и (А+В)-чисел, можно установить следующую закономерность в этих числовых последовательностях: каждый член последовательности равен сумме двух предыдущих. Если теперь обозначить n-й член последовательности, удовлетворяющей этому правилу через Fn, тогда указанное выше общее правило может быть записано в виде следующей математической формулы:

Fn = Fn-1 + Fn-2

(3)

Такая формула называется рекуррентной формулой.

Заметим, что конкретные значения числовой последовательности, порождаемой рекуррентной формулой (3), зависят от начальных значений последовательности F1 и F2. Например, мы имеем F1 = F2 = 1 для A-чисел и для этого случая рекуррентная формула (3) "генерирует" следующую числовую последовательность:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ... .

(4)

Для В-чисел мы имеем: F1 = 0 и F2 = 1; тогда соответствующая числовая последовательность для этого случая будет иметь вид:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... .

Наконец, для (А + В)-последовательности мы имеем: F1 = 1 и F2 = 2; тогда соответствующая числовая последовательность для этого случая будет иметь вид:

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... .

В математике под числами Фибоначчи, как правило, понимается числовая последовательность (4). Числа Фибоначчи обладают удивительными математическими свойствами


Ф
ибоначчи не стал изучать математические свойства полученной им числовой последовательности


1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... .

(1)

Это за него сделали другие математики. Начиная с 19 в., математические работы, посвященные свойствам чисел Фибоначчи, по остроумному выражению одного математика "начали размножаться как фибоначчиевые кролики".


Следующая задача, рассмотренная Фибоначчи, называется "задачей о выборе наилучшей системы гирь для взвешивания на рычажных весах" или просто "задачей о гирях". В русской историко-математической литературе "задача о гирях" известна под названием "задачи Баше-Менделеева", названной так в честь французского математика 17 в. Баше де Мезириака, который поместил эту задачу в своем "Сборнике приятных и занимательных задач" (1612 г.) и выдающегося русского химика Дмитрия Ивановича Менделеева, который интересовался этой задачей в бытность директором Главной Палаты мер и весов России.

Суть "задачи Баше-Менделеева" состоит в следующем: при какой системе гирь, имея их по одной, можно взвесить всевозможные грузы ^ Q от 0 до максимального груза Qmax, чтобы значение максимального груза Qmax было бы наибольшим среди всех возможных вариантов? Известно два варианта решения этой задачи: (1) когда гири разрешается класть на свободную чашу весов; (2) когда гири разрешается класть на обе чаши весов.

В первом случае "оптимальная система гирь" сводится к двоичной системе гирь: 1, 2, 4, 8, 16, ..., а возникающий при этом "оптимальный" алгоритм или способ измерения "порождает" классическую двоичную систему счисления, лежащую в основе современных компьютеров.

Во втором случае "оптимальной" является "троичная" система гирь: 1, 3, 9, 27, 81, ..., а возникающий при этом способ измерения "порождает" так называемую троичную симметричную систему счисления, которая была использована в "троичном" компьютере "Сетунь", созданном в 50-е годы в Московском университете.

Методологическое значение "задачи о гирях" состоит прежде всего в том, что она является одной из первых "оптимизационных" задач в истории математики. Во-вторых, она касается "проблемы измерения", то есть одной из фундаментальных проблем математики. В третьих, она связана с проблемой систем счисления, одной из фундаментальных проблем современной информатики. Именно развитие этой задачи с указанных точек зрения привело в последние годы к разработке так называемой "алгоритмической теории измерения", о которой мы расскажем позже.

Но возвратимся снова к Фибоначчи и его сочинениям. Хотя Фибоначчи был одним из наиболее ярких математических умов в истории западно-европейской математики, однако его вклад в математику незаслуженно принижен. Наиболее четко значение математического творчества Фибоначчи для математики подчеркнуто русским математиком проф. А.В. Васильевым в его книге "Целое число" (1919 г.):

"Сочинения ученого пизанского купца были настолько выше уровня математических знаний даже ученых того времени, что их влияние на математическую литературу становится заметным только через два столетия после его смерти в конце 15-го века, когда многие из его теорем и задач вводятся другом Леонардо да Винчи, профессором многих итальянских университетов Лукою Пачиоли в его сочинениях и в начале 16-го века, когда группа талантливых итальянских математиков: Сципион дель Ферро, Иероним Кардано, Тарталия, Феррари решением кубического и биквадратного уравнения положили начало высшей алгебре".

Из этого высказывания вытекает, что Фибоначчи почти на два столетия опередил западно-европейских математиков своего времени. Подобно Пифагору, который получил свое "научное образование" у египетских и вавилонских жрецов и затем способствовал передаче полученных знаний в греческую науку, Фибоначчи получил свое математическое образование в арабских учебных заведениях и многие из полученных там знаний, в частности, арабо-индусскую десятичную систему счисления, он попытался "внедрить" в западно-европейскую науку. И подобно Пифагору историческая роль Фибоначчи для западного мира состояла в том, что он своими математическими книгами способствовал передаче математических знаний арабов в западно-европейскую науку и тем самым заложил основы для дальнейшего развития западно-европейской математики.

В 1958 г. "опыты Фехнера" были повторены английскими учеными. Эти опыты вновь оказались весьма благоприятными для золотого сечения. Большинство испытуемых (35%) без промедления указали на "золотой" прямоугольник 21:34. Соседние к нему фигуры (2:3 и 13:23) также были оценены весьма высоко (20% - верхняя фигура и 19% - нижняя). Все остальные прямоугольники получили не более 10%.

Эти же опыты, проведенные в детской аудитории, дали совершенно иные результаты, не обнаружив чувства гармонии, свойственного взрослым. Отсюда было сделано заключение, что, по-видимому, ощущение прекрасного в его наиболее тонких и глубоких сторонах присуще лишь человеку зрелому.

Мир неживой природы - это прежде всего мир симметрии, придающий его творениям устойчивость и красоту. Мир живой природы - это прежде всего мир гармонии, в которой действует "закон золотого сечения".

В мире неживой природы действует так называемый принцип наименьшего действия. В соответствии с этим принципом система постоянно переходит от менее устойчивого к наиболее устойчивому состоянию. При этом всякое тело стремится принять такую форму, при которой оно обеспечивает минимум энергии его поверхности, совместимую с ориентирующими силами. Симметрия порождающей среды, в которой образуется тело, накладывается на симметрию тела. Получающаяся при этом форма тела сохраняет те элементы собственной симметрии, которые совпадают с наложенными на него элементами симметрии среды.

Принципу наименьшего действия подчиняются все системы неорганического мира. В биологическом и растительном мире это принцип не имеет такого широкого распространения. Любое животное или растение стремятся создать такую морфологическую оболочку, которая бы была благоприятна для размножения и годна для сопротивления условиям среды.

В этом случае вступает в действие принцип экономии материи, который не действует в неорганическом мире. Ярким примером этому служит стремление живых организмов к экономии костной субстанции при распределении материи, дающее максимум прочности во всех нужных направлениях.

Кроме этого, живые организмы проявляют лишь одним им свойственный феномен - феномен роста. Неорганические кристаллы увеличиваются путем присоединения идентичных элементов; живой организм растет путем "всасывания", идущего изнутри и направляющегося наружу.

Мы имеем также еще одно коренное различие: молекулярные элементы неорганической материи, не меняются во все время существования данной совокупности, тогда как элементы, образующие живую ткань, в процессе роста сгорают, удаляются и возобновляются, сохраняя общее начертание формы организма. Например, раковина (внешний скелет морских организмов) растет, сохраняя свою первоначальную форму, несмотря на свой асимметричный рост; рога животных растут только с одного конца.

zhenskij-obraz-v-romane-indiana.html
zhenskoe-obrazovanie-v-rossii-chast-14.html
zhenskoe-obrazovanie-v-rossii-chast-4.html
zhenskoe-obrazovanie-v-rossii-chast-9.html
zhertvi-i-socialnie-posledstviya-prestuplenij-chast-3.html
zhestkie-diski-chast-4.html
  • occupation.bystrickaya.ru/obshestvenno-politicheskie-smi-analiz-upominaemosti-v-smi-romir-i-konkurentov-obzor-smi-za-24-fevralya-2010-god.html
  • uchenik.bystrickaya.ru/konkursnaya-dokumentaciya.html
  • report.bystrickaya.ru/igra-v-biser-perevod-s-apta-g-gesse-izbrannoe-m-raduga-1991-ss-75-433-stranica-2.html
  • institute.bystrickaya.ru/future-perfect-tense-vse-slova-delyatsya-na-razryadi-nazivaemie-chastyami-rechi-slova-otnosyatsya-k-toj-ili-inoj-chasti.html
  • notebook.bystrickaya.ru/individualnaya-forma-povisheniya-kachestva-sestrinskih-navikov-nastavnichestvo.html
  • grade.bystrickaya.ru/ob-obespechenii-v-2007-godu-gosudarstvennoj-podderzhki-nekommercheskih-nepravitelstvennih-organizacij-uchastvuyushih-v-razvitii-institutov-grazhdanskogo-obshestva-stranica-23.html
  • composition.bystrickaya.ru/podhodi-k-upravleniyu-personalom-kodeks-zakonov-o-trude.html
  • textbook.bystrickaya.ru/gotovit-li-shkola-detej-dlya-zhizni-v-realnom-mire-uchis-kak-sleduet-poluchaj-horoshie-znaniya-i-ti-najdesh-visokooplachivaemuyu-rabotu-s-horoshim-dohodom-gova-stranica-5.html
  • uchenik.bystrickaya.ru/13-socialnaya-aktivnost-i-socialnoe-partnerstvo-obrazovatelnogo-uchrezhdeniya.html
  • abstract.bystrickaya.ru/2-razvitie-vremennih-predstavlenij-voprosi-kakoe-sejchas-vremya-goda.html
  • znanie.bystrickaya.ru/amorshilara-nemese-oranshilara-zhetm-balani-zhetmbalalardi-zhne-ata-anasini-amorliinsiz-alan-balanibalalardi-asirap-baua-zhrdemai-taajindaumemlekettk-krsetletn-izmet-standarti.html
  • paragraph.bystrickaya.ru/komplekt-ankernoj-krepi-podgotovitelnih-virabotok.html
  • bukva.bystrickaya.ru/tajnie-obshestva-hh-veka-kniga-chast-13.html
  • vospitanie.bystrickaya.ru/zakonchilos-stroitelstvo-na-grebnoj-baze-v-krasnodare-09-201-1-soderzhanie-glavnie-novosti-sporta-5.html
  • literatura.bystrickaya.ru/samostoyatelnaya-rabota-95-chas.html
  • letter.bystrickaya.ru/morfofiziologicheskaya-ocenka-molodi-russkogo-osetra-virashennoj-na-kombinirovannih-kormah-dlya-formirovaniya-produkcionnih-stad.html
  • studies.bystrickaya.ru/kriminogennaya-lichnost.html
  • college.bystrickaya.ru/2-chelovek-i-ego-izuchenie-v-psihologii-stranica-5.html
  • learn.bystrickaya.ru/glava-31-socratis-scholastici.html
  • lecture.bystrickaya.ru/azastan-respublikasindai-elektrondi-kmet-konceptualdi-tslder-zhne-zhzege-asiru-tzhribeler.html
  • uchenik.bystrickaya.ru/eta-kniga-istoriya-o-poiskah-lyubvi-krizise-i-somneniyah-chelovecheskom-stanovlenii-iskaniyah-istini-gde-prichudlivim-obrazom-perepletayutsya-mistiki-drevnosti-i-f.html
  • assessments.bystrickaya.ru/chelovechnost-i-chelovekolyubie-v-skazkah-i-rasskazah-posobie-po-vospitaniyu-v-seme-i-shkole.html
  • tests.bystrickaya.ru/konsolidirovannij-byudzhet-rossijskoj-federacii-ponyatie-i-sushnost.html
  • assessments.bystrickaya.ru/byudzhetnaya-sistema-rossijskoj-federacii-6.html
  • exchangerate.bystrickaya.ru/dyalnst-mzhnarodnih-ekonomchnih-organzacj-v-ukran.html
  • school.bystrickaya.ru/2-vibor-metodov-issledovaniya-obshaya-metodika-razvivayushego-obrazovaniya-s-primeneniem-triz.html
  • letter.bystrickaya.ru/mo-borovskij-rajon-zasedanie-konsultativnogo-soveta-o-planah-raboti-po-blagoustrojstvu-naselennih-punktov-rajona.html
  • write.bystrickaya.ru/estestvennonauchnij-fakultet-programma-itogovoj-nauchno-prakticheskoj-konferencii-prepodavatelej-i-studentov-orskogo.html
  • testyi.bystrickaya.ru/arhtektura-zhivopis-angl.html
  • zanyatie.bystrickaya.ru/narkopiknik-na-obochine-narkokontrol.html
  • university.bystrickaya.ru/glava-12-ostrij-instrument-frederik-bruks-mificheskij-cheloveko-mesyac-ili-kak-sozdayutsya-programmnie-sistemi.html
  • lecture.bystrickaya.ru/a-m-kapustin-otkrivaya-zased.html
  • tetrad.bystrickaya.ru/vostryakov-le-regionalnaya-kulturnaya-politika-poreformennoj-rossii-subektnoe-izmerenie-cpb-izd-vo-szags-2005-344-s.html
  • thescience.bystrickaya.ru/gosudarstvo-narkoman-ukreplyaem-ili-ubivaem-mi-gosudarstvo-svobodoj-i-pravami-cheloveka.html
  • klass.bystrickaya.ru/analiticheskij-otchet-o-deyatelnosti-ministerstva-kulturi-i-molodezhnoj-politiki-samarskoj-oblasti.html
  • © bystrickaya.ru
    Мобильный рефератник - для мобильных людей.